O Jogador A tem 2 reais enquanto o jogador B tem 1 real. Lançamos uma moeda equilibrada várias vezes, e cada vez que dá cara, A dá um real a B , e cada vez que dá coroa, B dá um real a A . Lançamos a moeda até um jogador perder, isto é, até um jogador ficar com 0 reais, e o outro ficar com 3 reais. Qual é a probabilidade de
ganhar o jogo?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que o jogador A ganhe (chegue a 3 reais) antes de ficar com 0 reais, começando com 2 reais, quando cada lançamento de uma moeda justa transfere
real entre os jogadores: cara faz A perder
real e coroa faz A ganhar
real. Informações dadas importantes:
A pergunta específica: qual é a probabilidade de A ganhar (chegar a
reais) a partir da situação inicial em que A tem
reais?
Passo 2
Definimos uma função de interesse para organizar o problema. Seja
a probabilidade de A ganhar o jogo quando A tem
reais. Então queremos
. As condições óbvias nas extremidades (situações absorventes) são:
Passo 3
Vamos relacionar
com
e
usando raciocínio por condicionamento no próximo lançamento. Se A tem
reais e lançamos a moeda uma vez:
- com probabilidade
sai coroa e A passa a ter reais, então a probabilidade de ganhar depois é ; - com probabilidade
sai cara e A passa a ter reais, então a probabilidade de ganhar depois é .
Pela regra da probabilidade total (ou esperança condicional), obtemos a equação de recorrência:
Vou explicar: isso diz que a probabilidade de A ganhar a partir de
é a média das probabilidades a partir dos dois estados possíveis após um lançamento, porque cada um ocorre com probabilidade
.
Passo 4
Transformamos a recorrência para ver sua forma. Multiplicando por
:
Rearranjando:
Essa igualdade mostra que a diferença entre termos consecutivos é constante (a mesma para
e
); portanto, a sequência
é uma progressão aritmética, isto é, linear em
. Logo, existe
tais que
Vou explicar por que isso é útil: resolver uma recorrência de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e sem termo independente aqui dá uma solução linear — isso evita métodos mais complicados.
Passo 5
Usamos as condições de contorno para determinar
e
. Como
, temos
Como
, temos
Portanto a expressão de
é
Passo 6
Agora calculamos o que queremos: a probabilidade de A ganhar começando com
reais é
Intuição rápida para checar: para uma moeda justa e um número fixo de unidades totais (
reais no total), a probabilidade de chegar ao extremo de A (todas as unidades para A) é proporcional ao número de unidades iniciais de A; aqui
de
dá
, consistente com o resultado obtido pela recorrência.