O Jogador A tem 2 reais enquanto o jogador B tem 1 real. Lançamos uma moeda equilibrada várias vezes, e cada vez que dá cara, A dá um real a B , e cada vez que dá coroa, B dá um real a A . Lançamos a moeda até um jogador perder, isto é, até um jogador ficar com 0 reais, e o outro ficar com 3 reais. Qual é a probabilidade de A ganhar o jogo?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o jogador A ganhe (chegue a 3 reais) antes de ficar com 0 reais, começando com 2 reais, quando cada lançamento de uma moeda justa transfere 1 real entre os jogadores: cara faz A perder 1 real e coroa faz A ganhar 1 real. Informações dadas importantes:
\text{A começa com }2\text{ reais, B começa com }1\text{ real.}çç
\text{Em cada lançamento: com probabilidade } \tfrac{1}{2}\text{ A perde 1; com probabilidade } \tfrac{1}{2}\text{ A ganha 1.}ç
\text{O jogo para quando um jogador tiver }0\text{ ou }3\text{ reais.}
A pergunta específica: qual é a probabilidade de A ganhar (chegar a 3 reais) a partir da situação inicial em que A tem 2 reais?

Passo 2

Definimos uma função de interesse para organizar o problema. Seja p_i a probabilidade de A ganhar o jogo quando A tem i reais. Então queremos p_2. As condições óbvias nas extremidades (situações absorventes) são:
p_0 = 0 \quad\text{(se A já tem 0, já perdeu)}áá
p_3 = 1 \quad\text{(se A já tem 3, já ganhou)}áá

Passo 3

Vamos relacionar p_i com p_{i+1} e p_{i-1} usando raciocínio por condicionamento no próximo lançamento. Se A tem i reais e lançamos a moeda uma vez:
  • com probabilidade \tfrac{1}{2} sai coroa e A passa a ter i+1 reais, então a probabilidade de ganhar depois é p_{i+1};
  • com probabilidade \tfrac{1}{2} sai cara e A passa a ter i-1 reais, então a probabilidade de ganhar depois é p_{i-1}.
    Pela regra da probabilidade total (ou esperança condicional), obtemos a equação de recorrência:
p_i = \tfrac{1}{2}\,p_{i+1} + \tfrac{1}{2}\,p_{i-1},\qquad\text{para }i=1,2.
Vou explicar: isso diz que a probabilidade de A ganhar a partir de i é a média das probabilidades a partir dos dois estados possíveis após um lançamento, porque cada um ocorre com probabilidade \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Transformamos a recorrência para ver sua forma. Multiplicando por 2:
2p_i = p_{i+1} + p_{i-1}.
Rearranjando:
p_{i+1} - p_i = p_i - p_{i-1}.
Essa igualdade mostra que a diferença entre termos consecutivos é constante (a mesma para i=1 e i=2); portanto, a sequência (p_i) é uma progressão aritmética, isto é, linear em i. Logo, existe a,b tais que
p_i = a i + b \quad\text{para } i=0,1,2,3.
Vou explicar por que isso é útil: resolver uma recorrência de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e sem termo independente aqui dá uma solução linear — isso evita métodos mais complicados.

Passo 5

Usamos as condições de contorno para determinar a e b. Como p_0=0, temos
p_0 = a\cdot 0 + b = b = 0.
Como p_3=1, temos
p_3 = a\cdot 3 + b = 3a + 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad a = \tfrac{1}{3}.
Portanto a expressão de p_i é
p_i = \tfrac{1}{3}\,i.

Passo 6

Agora calculamos o que queremos: a probabilidade de A ganhar começando com 2 reais é
p_2 = \tfrac{1}{3}\cdot 2 = \tfrac{2}{3}.
Intuição rápida para checar: para uma moeda justa e um número fixo de unidades totais ( 3 reais no total), a probabilidade de chegar ao extremo de A (todas as unidades para A) é proporcional ao número de unidades iniciais de A; aqui 2 de 3 2/3, consistente com o resultado obtido pela recorrência.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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