Uma parte tem probabilidade 0.9 de funcionar. Um componente consiste em 3 partes conectadas em série, de tal maneira que o componente funciona somente se as três partes funcionarem. Uma máquina é constituída de três componentes conectados em paralelo, de tal forma que a máquina funciona se, pelo menos, um de seus componentes funciona. Qual é a probabilidade de que a máquina funcione se as partes são independentes entre elas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Cada parte tem probabilidade de funcionar igual a 0,9.
  • Um componente é formado por 3 partes em série: o componente funciona somente se as três partes funcionarem.
  • A máquina é formada por 3 componentes em paralelo: a máquina funciona se pelo menos um componente funcionar.
  • As partes são independentes entre si (portanto eventos de funcionamento de partes diferentes são independentes).
Pergunta: Qual é a probabilidade de que a máquina funcione?

Passo 2

Conceito importante (série): quando temos elementos em série e o sistema precisa que todos funcionem, a probabilidade de que o sistema funcione, sob independência, é o produto das probabilidades de funcionamento de cada elemento.
Fórmula: se um componente tem n partes independentes com probabilidade de funcionamento p cada, então a probabilidade do componente funcionar é
p_{\text{comp}} = p^n.
Aqui cada parte tem p=0,9 e n=3.

Passo 3

Calcule a probabilidade de um componente funcionar:
p_{\text{comp}} = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,9^3 = 0,729.
Mostrei passo a passo: 0,9\cdot0,9=0,81 e 0,81\cdot0,9=0,729.

Passo 4

Conceito importante (paralelo e complemento): quando temos componentes em paralelo e o sistema funciona se pelo menos um componente funcionar, é mais fácil usar o complementar: a máquina falha só se todos os componentes falharem. Se os componentes são independentes, a probabilidade de todos falharem é o produto das probabilidades de falha de cada um. Assim:
P(\text{máquina funciona}) = 1 - P(\text{todos os componentes falham}) = 1 - \bigl(1 - p_{\text{comp}}\bigr)^3.á
Expliquei: 1-p_{\text{comp}} é a probabilidade de um componente falhar; elevando ao cubo obtemos a probabilidade de os três falharem simultaneamente; subtraindo de 1 obtemos a probabilidade de pelo menos um funcionar.

Passo 5

Calcule a probabilidade de um componente falhar:
1 - p_{\text{comp}} = 1 - 0,729 = 0,271.

Passo 6

Calcule a probabilidade de todos os três componentes falharem:
(0,271)^2 = 0,073441,
(0,271)^3 = 0,073441 \cdot 0,271 = 0,019902511.
Mostrei a etapa quadrática e depois a multiplicação para obter o cubo.

Passo 7

Agora calcule a probabilidade da máquina funcionar usando o complemento:
P(\text{máquina funciona}) = 1 - 0,019902511 = 0,980097489.á
Interpretação: cerca de 98,01\% de chance da máquina funcionar.

Resposta

1-(1-0,9^3)^3 \approx 0,980097489

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