Uma parte tem probabilidade 0.9 de funcionar. Um componente consiste em 3 partes conectadas em série, de tal maneira que o componente funciona somente se as três partes funcionarem. Uma máquina é constituída de três componentes conectados em paralelo, de tal forma que a máquina funciona se, pelo menos, um de seus componentes funciona. Qual é a probabilidade de que a máquina funcione se as partes são independentes entre elas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Cada parte tem probabilidade de funcionar igual a
. - Um componente é formado por
partes em série: o componente funciona somente se as três partes funcionarem. - A máquina é formada por
componentes em paralelo: a máquina funciona se pelo menos um componente funcionar. - As partes são independentes entre si (portanto eventos de funcionamento de partes diferentes são independentes).
Pergunta: Qual é a probabilidade de que a máquina funcione?
Passo 2
Conceito importante (série): quando temos elementos em série e o sistema precisa que todos funcionem, a probabilidade de que o sistema funcione, sob independência, é o produto das probabilidades de funcionamento de cada elemento.
Fórmula: se um componente tem partes independentes com probabilidade de funcionamento
cada, então a probabilidade do componente funcionar é
Fórmula: se um componente tem
Aqui cada parte tem
e
.
Passo 3
Calcule a probabilidade de um componente funcionar:
Mostrei passo a passo:
e
.
Passo 4
Conceito importante (paralelo e complemento): quando temos componentes em paralelo e o sistema funciona se pelo menos um componente funcionar, é mais fácil usar o complementar: a máquina falha só se todos os componentes falharem. Se os componentes são independentes, a probabilidade de todos falharem é o produto das probabilidades de falha de cada um. Assim:
Expliquei:
é a probabilidade de um componente falhar; elevando ao cubo obtemos a probabilidade de os três falharem simultaneamente; subtraindo de
obtemos a probabilidade de pelo menos um funcionar.
Passo 5
Calcule a probabilidade de um componente falhar:
Passo 6
Calcule a probabilidade de todos os três componentes falharem:
Mostrei a etapa quadrática e depois a multiplicação para obter o cubo.
Passo 7
Agora calcule a probabilidade da máquina funcionar usando o complemento:
Interpretação: cerca de
de chance da máquina funcionar.