Seja A e B dois eventos de um espaço de probabilidade.
Se P(A)=0.5, P(A \cup B)=0.7 e P(B \mid A)=0.5, qual o valor de P(B) ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar P(B). As informações fornecidas são:
  • P(A)=0,5.
  • P(A\cup B)=0,7.
  • P(B\mid A)=0,5.
Queremos usar essas informações para determinar o valor de P(B).

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar P(B\mid A) com probabilidades que conhecemos. A definição de probabilidade condicional é:
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu; P(A\cap B) é a probabilidade de ambos A e B ocorrerem; e P(A) é a probabilidade de A. Substituindo os valores dados:
0,5 = \frac{P(A\cap B)}{0,5}.
Multiplicando ambos os lados por 0,5 obtemos:
P(A\cap B)=0,5\cdot 0,5=0,25.

Passo 3

Agora usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Nessa fórmula, P(A\cup B) é a probabilidade de pelo menos um dos eventos ocorrer, e os outros termos já foram explicados. Queremos isolar P(B), então rearranjamos a fórmula:
P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B).
Substituindo os valores conhecidos P(A\cup B)=0,7, P(A)=0,5 e P(A\cap B)=0,25:
P(B)=0,7-0,5+0,25.
Calcule passo a passo: 0,7-0,5=0,2 e 0,2+0,25=0,45.

Passo 4

Fazendo um rápido cheque de consistência: P(A\cap B)=0,25 não pode ser maior que P(B), e de fato 0,25\le 0,45. Também P(B)=0,45 está entre 0 e 1, portanto é um valor válido de probabilidade. Tudo consistente.

Resposta

0,45

Exercícios relacionados