Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade de que a soma das duas faces seja quatro, sabendo que pelo menos uma das faces é dois?

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com probabilidade condicional, que basicamente nos diz a chance de um evento acontecer sabendo que outro já ocorreu. A pergunta é: qual a probabilidade de que a soma das duas faces dos dados seja quatro, sabendo que pelo menos uma das faces é dois. Para resolver isso, vamos precisar identificar todos os resultados possíveis que atendem a essa condição e, dentre eles, quantos satisfazem a soma de quatro.

Passo 2

Para calcular a probabilidade condicional, usamos a fórmula:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Onde:
  • $ A $ é o evento “a soma das faces é quatro”.
  • $ B $ é o evento “pelo menos uma das faces é dois”.
Nosso objetivo é encontrar $ P(A|B) $, ou seja, a probabilidade de $ A $ ocorrer dado que $ B $ já ocorreu.

Passo 3

Vamos começar calculando $ P(B) $, a probabilidade de que pelo menos uma das faces seja dois. Quando jogamos dois dados, cada um tem 6 faces, então há $ 6 \times 6 = 36 $ resultados possíveis.
O evento $ B $ inclui todos os resultados onde pelo menos um dos dois dados mostra o número dois. Esses resultados são:
  • Primeiro dado é 2 e o segundo é qualquer número (1 a 6): (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6).
  • Segundo dado é 2 e o primeiro é qualquer número (1 a 6): (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2).
Note que o resultado (2,2) está incluído nas duas listas, então contamos ele apenas uma vez. Portanto, há $ 6 + 6 - 1 = 11 $ resultados favoráveis ao evento $ B $.
Assim,
P(B)

Passo 4

Agora, vamos determinar $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de que a soma das faces seja quatro e que pelo menos uma das faces seja dois.
Primeiro, listamos os resultados onde a soma é quatro:
  • (1,3)
  • (2,2)
  • (3,1)
Desses, apenas o resultado (2,2) tem pelo menos uma face com o número dois. Portanto, há apenas 1 resultado favorável a $ A \cap B $.
Então,
P(A cap B)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A cap B)P(B) = 1361136 = 111

Resposta

A probabilidade solicitada é $ \frac{1}{11} $.

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