Jogando 3 dados (ou um dado 3 vezes), qual a probabilidade de se obter soma maior ou igual a 4 ?

Passo 1

O enunciado dá que se joga três dados (ou um dado três vezes) e pergunta qual a probabilidade de obter soma maior ou igual a 4. Pressuposições e informações relevantes dadas:
  • Os dados são dados comuns de seis faces numeradas de 1 a 6 (ou seja, cada lançamento tem 6 resultados possíveis e igualmente prováveis).
  • Fazem-se 3 lançamentos independentes.
  • A pergunta é: qual é P(\text{soma} \ge 4).

Passo 2

Lembra do conceito básico de probabilidade em espaços equiprováveis: se o espaço amostral tem \lvert \Omega\rvert resultados igualmente prováveis e um evento A tem \lvert A\rvert resultados favoráveis, então
P(A)=\frac{\lvert A\rvert}{\lvert \Omega\rvert}.
Vou usar isso: primeiro encontro \lvert \Omega\rvert (total de resultados) e depois conto \lvert A\rvert (favoráveis).

Passo 3

Calcular o total de resultados possíveis: cada lançamento tem 6 resultados e são 3 lançamentos independentes, logo
\lvert \Omega\rvert=6^3=216.
Portanto há 216 resultados igualmente prováveis.

Passo 4

Usar o complemento para simplificar o conto: é mais fácil contar os casos em que a soma é menor que 4 e subtrair de 1. Se definir o evento
A=\{\text{soma} \ge 4\},
então o complemento é
A^c=\{\text{soma} \le 3\}.
Como o menor valor possível da soma de três dados é 3 (quando todos os dados mostram 1), o conjunto A^c contém apenas a soma igual a 3. Logo basta contar quantos resultados dão soma 3.

Passo 5

Contar as sequências que somam 3: para três dados a soma 3 só ocorre quando cada dado vale 1, ou seja, exatamente o resultado (1,1,1). Então
\lvert A^c\rvert = 1.
Assim
P(A^c)=\frac{\lvert A^c\rvert}{\lvert \Omega\rvert}=\frac{1}{216}.

Passo 6

Agora aplico a regra do complemento:
P(\text{soma}\ge 4)=1-P(\text{soma}\le 3)=1-P(A^c)=1-\frac{1}{216}=\frac{215}{216}.
Convertendo para decimal e porcentagem para intuição:
\frac{215}{216}\approx 0,995370\quad\text{ou}\quad 99,5370\%.

Passo 7

Resumo e verificação rápida: faz sentido que a probabilidade seja muito alta, porque a única soma que falha o evento é a mínima 3, que é um único caso entre 216. Portanto o resultado está consistente.

Resposta

\dfrac{215}{216}\approx 0,995370

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