Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100 . Qual a probabilidade de o número:
2. Ser múltiplo de 3 e de 4 ?

Passo 1

O enunciado diz que um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de 1 a 100. O que ele pede:
  • Calcular a probabilidade de o número ser múltiplo de 3 e de 4 ao mesmo tempo.
Informações dadas e importantes:
  • Espaço amostral (quantidade total de resultados possíveis): há 100 inteiros de 1 a 100.
  • Queremos contar quantos desses 100 inteiros são múltiplos de ambos 3 e 4.

Passo 2

O que significa “múltiplo de 3 e de 4”?
Significa que o número escolhido é divisível por 3 e também por 4. Um número que é múltiplo de dois inteiros ao mesmo tempo é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) desses inteiros, também chamado de \mathrm{lcm} (least common multiple).

Passo 3

Definição e cálculo do \mathrm{lcm}:
Para dois inteiros a e b, vale a fórmula
\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)},
onde \gcd(a,b) é o máximo divisor comum entre a e b.
Aqui a=3 e b=4. Primeiro calculemos \gcd(3,4). Como 3 e 4 não têm divisor comum além de 1, temos
\gcd(3,4)=1.
Portanto
\mathrm{lcm}(3,4)=\frac{3\cdot4}{1}=12.
Ou seja, ser múltiplo de 3 e de 4 equivale a ser múltiplo de 12.

Passo 4

Contagem dos múltiplos de 12 entre 1 e 100:
Os múltiplos positivos de 12 são 12,24,36,\dots. Em geral são 12\cdot k com k inteiro positivo. Queremos 12\cdot k\le 100. O maior k inteiro que satisfaz isso é
k_{\max}=\left\lfloor\frac{100}{12}\right\rfloor.
Calculando,
\frac{100}{12}\approx 8{,}333\ldots\quad\Rightarrow\quad \left\lfloor\frac{100}{12}\right\rfloor=8.
Logo há 8 múltiplos de 12 no intervalo 1 a 100 (são 12,24,36,48,60,72,84,96).

Passo 5

Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis. Seja N_{\text{fav}} o número de favoráveis e N_{\text{tot}} o total. Aqui
N_{\text{fav}}=8,\qquad N_{\text{tot}}=100.
Portanto a probabilidade é
P=\frac{N_{\text{fav}}}{N_{\text{tot}}}=\frac{8}{100}.

Passo 6

Simplificação e interpretação numérica:
Simplificando a fração \dfrac{8}{100} por 4 obtemos
\frac{8}{100}=\frac{2}{25}.
Em decimal isso é \dfrac{2}{25}=0{,}08 e em porcentagem 8\%.
Força aí — a conta ficou curtinha: só lembrar do \mathrm{lcm} e contar os múltiplos!

Resposta

\dfrac{2}{25}

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