Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100 . Qual a probabilidade de o número:
2. Ser múltiplo de 3 e de 4 ?
2. Ser múltiplo de 3 e de 4 ?
Passo 1
O enunciado diz que um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de
a
. O que ele pede:
- Calcular a probabilidade de o número ser múltiplo de
e de ao mesmo tempo.
Informações dadas e importantes:
- Espaço amostral (quantidade total de resultados possíveis): há
inteiros de a . - Queremos contar quantos desses
inteiros são múltiplos de ambos e .
Passo 2
O que significa “múltiplo de
e de
”?
Significa que o número escolhido é divisível por e também por
. Um número que é múltiplo de dois inteiros ao mesmo tempo é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) desses inteiros, também chamado de
(least common multiple).
Significa que o número escolhido é divisível por
Passo 3
Definição e cálculo do
:
Para dois inteiros e
, vale a fórmula
Para dois inteiros
onde
é o máximo divisor comum entre
e
.
Aqui
e
. Primeiro calculemos
. Como
e
não têm divisor comum além de
, temos
Portanto
Ou seja, ser múltiplo de
e de
equivale a ser múltiplo de
.
Passo 4
Contagem dos múltiplos de
entre
e
:
Os múltiplos positivos de são
. Em geral são
com
inteiro positivo. Queremos
. O maior
inteiro que satisfaz isso é
Os múltiplos positivos de
Calculando,
Logo há
múltiplos de
no intervalo
a
(são
).
Passo 5
Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis. Seja o número de favoráveis e
o total. Aqui
Probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis. Seja
Portanto a probabilidade é
Passo 6
Simplificação e interpretação numérica:
Simplificando a fração por
obtemos
Simplificando a fração
Em decimal isso é
e em porcentagem
.
Força aí — a conta ficou curtinha: só lembrar do
e contar os múltiplos!