• An experiment has run a single replicate of a 2^{4} design and calculated the following factor effects:
\begin{array}{lll} A=80.25 & A B=53.25 & A B C=-2.95 \\\ B=-65.50 & A C=11.00 & A B D=-8.00 \\\ C=-9.25 & A D=9.75 & A C D=10.25 \\\ D=-20.50 & B C=18.36 & B C D=-7.95 \\\ & B D=15.10 & A B C D=-6.25 \\\ & C D=-1.25 & \end{array}
(a) Verificar quais termos são significativos
(b) Regredir o modelo com|os termos significatos
(c) Estimate the regression coefficients in this model, assuming that \bar{y}=400.

Passo 1

O enunciado dá os efeitos estimados de um experimento 2^{4} com uma única réplica (ou seja, sem repetições) e fornece também \bar{y}=400. As perguntas são:
  • (a) Verificar quais termos são significativos.
  • (b) Ajustar (regredir) o modelo com os termos significativos.
  • (c) Estimar os coeficientes de regressão desse modelo assumindo \bar{y}=400.
Dados (efeitos fornecidos):
\begin{array}{lll} A=80,25 & A B=53,25 & A B C=-2,95 \\\ B=-65,50 & A C=11,00 & A B D=-8,00 \\\ C=-9,25 & A D=9,75 & A C D=10,25 \\\ D=-20,50 & B C=18,36 & B C D=-7,95 \\\ & B D=15,10 & A B C D=-6,25 \\\ & C D=-1,25 & \end{array}
Observação: há 15 efeitos (todos os efeitos, exceto a média). A resolução real começa no Passo 2.

Passo 2

Escolha do método e por que: como o experimento tem uma única réplica (sem repetições), não podemos usar o erro experimental tradicional para testar significância. Uma técnica padrão para essas situações é o método de Lenth (pseudo-erro padrão, PSE), que assume que a maioria dos efeitos é nula e usa a distribuição dos efeitos para estimar uma medida de ruído. Vou aplicar o procedimento de Lenth passo a passo (explico as fórmulas e cada decisão), porque é adequado para projetos 2^{k} sem réplica e é prático para tomar decisão sobre quais efeitos manter.
Breve explicação do método (intuitiva): primeiro calcula-se uma medida inicial de escala dos efeitos (chamada s_0), baseada na mediana dos valores absolutos. Em seguida, excluem-se efeitos muito grandes (prováveis não-nulos) e calcula-se uma medida mais robusta de dispersão entre os efeitos restantes: o PSE. Finalmente comparamos cada efeito com um múltiplo do PSE para declarar significância. Uma escolha prática e comum (seguindo Lenth) é usar como corte \text{ME}=2,5\cdot\text{PSE}, isto é, um efeito é considerado significativo se |\text{efeito}|>\text{ME}. Também podemos trabalhar com o “t-like” \text{efeito}/\text{PSE} e comparar com 2{,}5 como limite equivalente.

Passo 3

Aplicando Lenth ao conjunto de efeitos:
  1. Calcule a mediana dos valores absolutos dos 15 efeitos. Os valores absolutos ordenados são
1{,}25,\;2{,}95,\;6{,}25,\;7{,}95,\;8{,}00,\;9{,}25,\;9{,}75,\;10{,}25,\;11{,}00,\;15{,}10,\;18{,}36,\;20{,}50,\;53{,}25,\;65{,}50,\;80{,}25.
Como n=15, a mediana é o 8.º termo:
\text{mediana}(|\text{efeitos}|)=10{,}25.
  1. Calcule s_0 pela fórmula de Lenth:
s_0 = 1{,}5\cdot\text{mediana}(|\text{efeitos}|)
Portanto
s_0 = 1{,}5\cdot 10{,}25 = 15{,}375.
  1. Determine o conjunto de efeitos “não-extremos” como aqueles com |\text{efeito}|\le 2{,}5\cdot s_0. Primeiro calcule
2{,}5\cdot s_0 = 2{,}5\cdot 15{,}375 = 38{,}4375.
Assim, excluem-se os efeitos maiores em módulo que 38{,}4375. No nosso caso, os efeitos excluídos são A ( 80{,}25), B ( 65{,}50) e AB ( 53{,}25); todos os outros 12 efeitos ficam no conjunto para cálculo do PSE.
  1. Calcule a mediana dos valores absolutos apenas dos efeitos selecionados (os 12 valores restantes). Os 12 valores selecionados, ordenados, são
1{,}25,\;2{,}95,\;6{,}25,\;7{,}95,\;8{,}00,\;9{,}25,\;9{,}75,\;10{,}25,\;11{,}00,\;15{,}10,\;18{,}36,\;20{,}50.
Como são 12 valores, a mediana é a média do 6.º e 7.º termos:
\text{mediana}_{\text{selecionados}} = \frac{9{,}25 + 9{,}75}{2} = 9{,}50.
  1. Finalmente, o PSE (pseudo standard error) é
\text{PSE} = 1{,}5\cdot\text{mediana}_{\text{selecionados}} = 1{,}5\cdot 9{,}50 = 14{,}25.
Resumo numérico obtido: \text{mediana}(|\text{efeitos}|)=10{,}25,\; s_0=15{,}375,\; \text{PSE}=14{,}25.

Passo 4

Decisão sobre significância:
Usarei a regra prática de Lenth: declarar significativos os efeitos cujo módulo excede
\text{ME} = 2{,}5\cdot\text{PSE}.
Calculemos \text{ME}:
\text{ME} = 2{,}5\cdot 14{,}25 = 35{,}625.
Também é útil olhar para os “t-like” scores
t_i = \frac{\text{efeito}_i}{\text{PSE}}.
Vou calcular (aproximando com duas casas decimais) os t_i para cada efeito:
\begin{array}{ll} t_A = \dfrac{80{,}25}{14{,}25} \approx 5{,}63, & t_B = \dfrac{-65{,}50}{14{,}25} \approx -4{,}60,\\[6pt] t_{AB} = \dfrac{53{,}25}{14{,}25} \approx 3{,}74, & t_D = \dfrac{-20{,}50}{14{,}25} \approx -1{,}44,\\[6pt] t_C = \dfrac{-9{,}25}{14{,}25} \approx -0{,}65, & t_{AC} \approx 0{,}77,\\[6pt] t_{AD} \approx 0{,}68, & t_{BC} \approx 1{,}29,\\[6pt] t_{BD} \approx 1{,}06, & t_{CD} \approx -0{,}09,\\[6pt] t_{ABC} \approx -0{,}21, & t_{ABD} \approx -0{,}56,\\[6pt] t_{ACD} \approx 0{,}72, & t_{BCD} \approx -0{,}56,\\[6pt] t_{ABCD} \approx -0{,}44. \end{array}
Usando o critério |\text{efeito}|>\text{ME} (equivalente a |t|>2{,}5), vemos que apenas os efeitos A, B e AB satisfazem essa condição:
|80{,}25|>35{,}625,\quad |65{,}50|>35{,}625,\quad |53{,}25|>35{,}625.
Portanto os termos significativos são A,\;B e AB.
Comentário empático: é comum em 2^{k} sem réplica encontrar poucos efeitos grandes e muitos pequenos; aqui A, B e a interação AB sobressaem claramente.]

Passo 5

Formação do modelo reduzido (regressão):
Em designs fatoriais com codificação -1/+1 para os fatores, o modelo de regressão em termos das variáveis codificadas x_A,x_B,\ldots\in\{-1,+1\} é
y = \beta_0 + \beta_A x_A + \beta_B x_B + \beta_{AB} x_A x_B + \cdots
Relação entre “efeitos” (como dados no enunciado) e coeficientes de regressão: ao usar codificação -1/+1,
  • o efeito principal (diferença entre médias em nível + e -) é igual a 2\beta_j. Ou seja
\text{efeito}_j = 2\beta_j.
  • de modo geral para interações também vale \text{efeito}_{jk}=2\beta_{jk}.
    Explicação rápida: quando x_j muda de -1 para +1, a contribuição de \beta_j x_j muda de -\beta_j para +\beta_j, diferença 2\beta_j; essa diferença é precisamente o “efeito” definido como y_{+}-y_{-}.
Assim, para montar o modelo com os termos significativos A,B,AB basta tomar as estimativas dos coeficientes como metade dos efeitos estimados.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes estimados:
  • Intercepto \beta_0: para codificação centrada, \beta_0 equals the grand mean, que o problema deu: \bar{y}=400. Então
\beta_0 = 400.
  • Coeficientes das variáveis significativas:
\beta_A = \frac{\text{efeito }A}{2} = \frac{80{,}25}{2} = 40{,}125,
\beta_B = \frac{\text{efeito }B}{2} = \frac{-65{,}50}{2} = -32{,}75,
\beta_{AB} = \frac{\text{efeito }AB}{2} = \frac{53{,}25}{2} = 26{,}625.
Logo o modelo de regressão estimado (em termos das variáveis codificadas x_A,x_B\in\{-1,+1\}) é
\hat{y} = 400 + 40{,}125\,x_A - 32{,}75\,x_B + 26{,}625\,x_A x_B.
Observação didática: coeficientes dos demais termos foram colocados como zero no modelo reduzido porque não foram considerados significativos pelo critério usado.

Resposta

(a) A,\;B,\;AB\n
(b) \hat{y}=400+40{,}125\,x_A-32{,}75\,x_B+26{,}625\,x_A x_B\n
(c) \beta_0=400,\; \beta_A=40{,}125,\; \beta_B=-32{,}75,\; \beta_{AB}=26{,}625

Exercícios relacionados