- An experiment has run a single replicate of a
design and calculated the following factor effects:
(a) Verificar quais termos são significativos
(b) Regredir o modelo com|os termos significatos
(c) Estimate the regression coefficients in this model, assuming that
.
(b) Regredir o modelo com|os termos significatos
(c) Estimate the regression coefficients in this model, assuming that
Passo 1
O enunciado dá os efeitos estimados de um experimento
com uma única réplica (ou seja, sem repetições) e fornece também
. As perguntas são:
- (a) Verificar quais termos são significativos.
- (b) Ajustar (regredir) o modelo com os termos significativos.
- (c) Estimar os coeficientes de regressão desse modelo assumindo
.
Dados (efeitos fornecidos):
Observação: há
efeitos (todos os efeitos, exceto a média). A resolução real começa no Passo 2.
Passo 2
Escolha do método e por que: como o experimento tem uma única réplica (sem repetições), não podemos usar o erro experimental tradicional para testar significância. Uma técnica padrão para essas situações é o método de Lenth (pseudo-erro padrão, PSE), que assume que a maioria dos efeitos é nula e usa a distribuição dos efeitos para estimar uma medida de ruído. Vou aplicar o procedimento de Lenth passo a passo (explico as fórmulas e cada decisão), porque é adequado para projetos
sem réplica e é prático para tomar decisão sobre quais efeitos manter.
Breve explicação do método (intuitiva): primeiro calcula-se uma medida inicial de escala dos efeitos (chamada
), baseada na mediana dos valores absolutos. Em seguida, excluem-se efeitos muito grandes (prováveis não-nulos) e calcula-se uma medida mais robusta de dispersão entre os efeitos restantes: o PSE. Finalmente comparamos cada efeito com um múltiplo do PSE para declarar significância. Uma escolha prática e comum (seguindo Lenth) é usar como corte
, isto é, um efeito é considerado significativo se
. Também podemos trabalhar com o “t-like”
e comparar com
como limite equivalente.
Passo 3
Aplicando Lenth ao conjunto de efeitos:
- Calcule a mediana dos valores absolutos dos
efeitos. Os valores absolutos ordenados são
Como
, a mediana é o 8.º termo:
- Calcule
pela fórmula de Lenth:
Portanto
- Determine o conjunto de efeitos “não-extremos” como aqueles com
. Primeiro calcule
Assim, excluem-se os efeitos maiores em módulo que
. No nosso caso, os efeitos excluídos são
(
),
(
) e
(
); todos os outros
efeitos ficam no conjunto para cálculo do PSE.
- Calcule a mediana dos valores absolutos apenas dos efeitos selecionados (os 12 valores restantes). Os 12 valores selecionados, ordenados, são
Como são 12 valores, a mediana é a média do 6.º e 7.º termos:
- Finalmente, o PSE (pseudo standard error) é
Resumo numérico obtido:
Passo 4
Decisão sobre significância:
Usarei a regra prática de Lenth: declarar significativos os efeitos cujo módulo excede
Calculemos
:
Também é útil olhar para os “t-like” scores
Vou calcular (aproximando com duas casas decimais) os
para cada efeito:
Usando o critério
(equivalente a
), vemos que apenas os efeitos
,
e
satisfazem essa condição:
Portanto os termos significativos são
e
.
Comentário empático: é comum em
sem réplica encontrar poucos efeitos grandes e muitos pequenos; aqui
,
e a interação
sobressaem claramente.]
Passo 5
Formação do modelo reduzido (regressão):
Em designs fatoriais com codificação
para os fatores, o modelo de regressão em termos das variáveis codificadas
é
Relação entre “efeitos” (como dados no enunciado) e coeficientes de regressão: ao usar codificação
,
- o efeito principal (diferença entre médias em nível + e -) é igual a
. Ou seja
- de modo geral para interações também vale
.
Explicação rápida: quandomuda de para , a contribuição de muda de para , diferença ; essa diferença é precisamente o “efeito” definido como .
Assim, para montar o modelo com os termos significativos
basta tomar as estimativas dos coeficientes como metade dos efeitos estimados.
Passo 6
Cálculo dos coeficientes estimados:
- Intercepto
: para codificação centrada, equals the grand mean, que o problema deu: . Então
- Coeficientes das variáveis significativas:
Logo o modelo de regressão estimado (em termos das variáveis codificadas
) é
Observação didática: coeficientes dos demais termos foram colocados como zero no modelo reduzido porque não foram considerados significativos pelo critério usado.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)