Um jogo de dados o jogador A paga R a banca e lança três dados. Se sair face 1 em apenas um dos dados o jogador ganha R a banca e lança três dados Se sair face 1 em apenas um dos dados o jogador ganha R . Se sair face 1 em apenas dois dados o jogador ganha R 20,00. Se sair face 1 em três dados o jogador ganha . Calcule o lucro líquido esperado pelo jogador em uma única jogada. Resp.: - 9,21 R$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um jogo de dados onde o jogador A paga R$ 20,00 para jogar. Ele lança três dados e pode ganhar prêmios dependendo de quantos resultados forem 1. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e expectativa matemática para calcular o lucro líquido esperado desse jogo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis formas de ganhar e quanto o jogador ganha em cada situação:
  • Se sair 1 em apenas um dado: ganha R$ 20,00.
  • Se sair 1 em dois dados: ganha R$ 50,00.
  • Se sair 1 em todos os três dados: ganha R$ 80,00.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer. Como cada dado tem 6 faces, a probabilidade de sair 1 em um dado é $ \frac{1}{6} $ e de não sair 1 é $ \frac{5}{6} $.

Passo 4

Para calcular a probabilidade de sair 1 em exatamente um dado e não em outros dois, usamos a combinação:
P(1 ocorrência) = binom31 ( 16 )^1 ( 56 )^2 ê
Calculando:
P(1 ocorrência) = 3 times 16 times ( 2536 ) = 75216 ê

Passo 5

De forma similar, para exatamente duas ocorrências de 1:
P(2 ocorrências) = binom32 ( 16 )^2 ( 56 )^1 ê
Calculando:
P(2 ocorrências) = 3 times 136 times 56 = 15216 ê

Passo 6

E para as três ocorrências de 1:
P(3 ocorrências) = binom33 ( 16 )^3 = 1 times 1216 = 1216 ê

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor esperado dos ganhos multiplicando cada prêmio pela sua respectiva probabilidade e somando tudo:
E(ganhos) = 20 times 75216 + 50 times 15216 + 80 times 1216
Calculando cada termo:
20 times 75216 = 1500216 approx 6,94
50 times 15216 = 750216 approx 3,47
80 times 1216 approx 0,37
Somando tudo:
E(ganhos) approx 6,94 + 3,47 + 0,37 = 10,78

Passo 8

Finalmente, para encontrar o lucro líquido esperado, subtraímos o valor que o jogador paga para jogar:
Lucro líquido = E(ganhos) - 20 approx 10,78 - 20 = -9,22 í
Arredondando, temos aproximadamente -9,21 R$.

Resposta

O lucro líquido esperado pelo jogador em uma única jogada é de aproximadamente -9,21 R$.

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