Um jogo de dados o jogador A paga
a banca e lança três dados. Se sair face 1 em apenas um dos dados o jogador ganha R
. Se sair face 1 em apenas dois dados o jogador ganha R
. Se sair face 1 em três dados o jogador ganha
. Calcule o lucro líquido esperado pelo jogador em uma única jogada. Resp.: - 9,21 R$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um jogo de dados onde o jogador A paga R$ 20,00 para jogar. Ele lança três dados e pode ganhar prêmios dependendo de quantos resultados forem 1. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e expectativa matemática para calcular o lucro líquido esperado desse jogo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis formas de ganhar e quanto o jogador ganha em cada situação:
- Se sair 1 em apenas um dado: ganha R$ 20,00.
- Se sair 1 em dois dados: ganha R$ 50,00.
- Se sair 1 em todos os três dados: ganha R$ 80,00.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações acontecer. Como cada dado tem 6 faces, a probabilidade de sair 1 em um dado é $ \frac{1}{6} $ e de não sair 1 é $ \frac{5}{6} $.
Passo 4
Para calcular a probabilidade de sair 1 em exatamente um dado e não em outros dois, usamos a combinação:
Calculando:
Passo 5
De forma similar, para exatamente duas ocorrências de 1:
Calculando:
Passo 6
E para as três ocorrências de 1:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor esperado dos ganhos multiplicando cada prêmio pela sua respectiva probabilidade e somando tudo:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o lucro líquido esperado, subtraímos o valor que o jogador paga para jogar:
Arredondando, temos aproximadamente -9,21 R$.
Resposta
O lucro líquido esperado pelo jogador em uma única jogada é de aproximadamente -9,21 R$.