Resistências185,5 185,6 185,7 185,8 185,9 186,0 186,1
Qtde. corpos1 2 2 4 6 4 1
Construa um intervalo de 95% de confiança para a resistência média à ruptura do concreto do qual foram retirados os corpos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para construir um intervalo de confiança de 95% para a resistência média à ruptura do concreto. Isso significa que queremos estimar a média da resistência desse concreto com 95% de certeza. Para resolver isso, vamos precisar dos dados das resistências e da quantidade de corpos testados, além de usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela mostra diferentes valores de resistência e a quantidade de corpos que apresentaram cada resistência:
Resistência (MPa) Qtde. de Corpos
185,5 1
185,6 2
185,7 2
185,8 4
185,9 6
186,0 4
186,1 1

Passo 3

Vamos calcular a média das resistências. Para isso, multiplicamos cada resistência pela quantidade de corpos, somamos tudo e dividimos pelo total de corpos.
Primeiro, calculamos o total de corpos:
N = 1 + 2 + 2 + 4 + 6 + 4 + 1 = 20
Agora, calculamos a soma das resistências:
Soma &= (185,5 times 1) + (185,6 times 2) + (185,7 times 2) & + (185,8 times 4) + (185,9 times 6) + (186,0 times 4) + (186,1 times 1) &= 185,5 + 371,2 + 371,4 + 743,2 + 1115,4 + 744,0 + 186,1 &= 3856,8 MPa
Então, a média ( barx) é:
barx = 3856,820 = 192,84 MPa
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos acima. Vamos refazer:
Soma &= (185,5 times 1) + (185,6 times 2) + (185,7 times 2) & + (185,8 times 4) + (185,9 times 6) + (186,0 times 4) + (186,1 times 1) &= 185,5 + 371,2 + 371,4 + 743,2 + 1115,4 + 744,0 + 186,1 &= 3856,8 MPa
A média correta seria:
barx = 3856,820 = 192,84 MPa
No entanto, parece que há um erro conceitual, já que as resistências estão entre 185,5 e 186,1 MPa, então a média não pode ser 192,84. Vamos verificar os cálculos novamente:
Soma &= 185,5 times 1 = 185,5 &+ 185,6 times 2 = 371,2 &+ 185,7 times 2 = 371,4 &+ 185,8 times 4 = 743,2 &+ 185,9 times 6 = 1115,4 &+ 186,0 times 4 = 744,0 &+ 186,1 times 1 = 186,1 &= 185,5 + 371,2 + 371,4 + 743,2 + 1115,4 + 744,0 + 186,1 &= 3856,8 MPa
Agora, a média:
barx = 3856,820 = 192,84 MPa
Há claramente um erro, pois a média não pode exceder os valores individuais. Vamos revisar o total de corpos:
N = 1 + 2 + 2 + 4 + 6 + 4 + 1 = 20
E a soma das resistências:
3856,8 div 20 = 192,84 MPa
O erro está na multiplicação. Vamos recalcular:
185,5 times 1 &= 185,5 185,6 times 2 &= 371,2 185,7 times 2 &= 371,4 185,8 times 4 &= 743,2 185,9 times 6 &= 1115,4 186,0 times 4 &= 744,0 186,1 times 1 &= 186,1
Somando:
185,5 + 371,2 = 556,7 556,7 + 371,4 = 928,1 928,1 + 743,2 = 1671,3 1671,3 + 1115,4 = 2786,7 2786,7 + 744,0 = 3530,7 3530,7 + 186,1 = 3716,8 MPa
Agora, a média:
barx = 3716,820 = 185,84 MPa

Passo 4

Agora que encontramos a média ( barx = 185,84 MPa), precisamos calcular o desvio padrão para entender a variabilidade dos dados. Primeiro, calculamos a variância.
A fórmula da variância ( s^2) é:
s^2 = sum (xi - barx)^2N - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2 multiplicado pela quantidade de corpos:
(185,5 - 185,84)^2 times 1 &= (-0,34)^2 times 1 = 0,1156 (185,6 - 185,84)^2 times 2 &= (-0,24)^2 times 2 = 0,1152 (185,7 - 185,84)^2 times 2 &= (-0,14)^2 times 2 = 0,0392 (185,8 - 185,84)^2 times 4 &= (-0,04)^2 times 4 = 0,0064 (185,9 - 185,84)^2 times 6 &= (0,06)^2 times 6 = 0,0216 (186,0 - 185,84)^2 times 4 &= (0,16)^2 times 4 = 0,1024 (186,1 - 185,84)^2 times 1 &= (0,26)^2 times 1 = 0,0676
Somando todos esses valores:
0,1156 + 0,1152 + 0,0392 + 0,0064 + 0,0216 + 0,1024 + 0,0676 = 0,46799999999999994
Então, a variância:
s^2 = 0,46820 - 1 = 0,46819 approx 0,0246 MPa^2
E o desvio padrão ( s) é a raiz quadrada da variância:
s = raiz0,0246 approx 0,1569 MPa

Passo 5

Agora, vamos construir o intervalo de confiança de 95%. Para isso, usamos a fórmula:
barx pm talpha2 times sraizN
Onde:
  • barx é a média
  • talpha2 é o valor crítico da distribuição t de Student para 95% de confiança e N-1 graus de liberdade
  • s é o desvio padrão
  • N é o número total de corpos
Primeiro, encontramos talpha2. Com N-1 = 19 graus de liberdade e confiança de 95%, o valor de t é aproximadamente 2,093 (consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística).
Agora, calculamos o erro padrão da média:
sraizN = 0,1569raiz20 approx 0,15694,4721 approx 0,0351 MPa
Multiplicamos pelo valor crítico t:
2,093 times 0,0351 approx 0,0736 MPa

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a resistência média à ruptura do concreto é de aproximadamente 185,84 - 0,074 MPa a 185,84 + 0,074 MPa, ou seja:
185,77 MPa <= mu <= 185,91 MPa

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