Resistências185,5 | 185,6 | 185,7 | 185,8 | 185,9 | 186,0 | 186,1 |
---|---|---|---|---|---|---|
Qtde. corpos1 | 2 | 2 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Construa um intervalo de 95% de confiança para a resistência média à ruptura do concreto do qual foram retirados os corpos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para construir um intervalo de confiança de 95% para a resistência média à ruptura do concreto. Isso significa que queremos estimar a média da resistência desse concreto com 95% de certeza. Para resolver isso, vamos precisar dos dados das resistências e da quantidade de corpos testados, além de usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela mostra diferentes valores de resistência e a quantidade de corpos que apresentaram cada resistência:
Resistência (MPa) | Qtde. de Corpos |
---|---|
185,5 | 1 |
185,6 | 2 |
185,7 | 2 |
185,8 | 4 |
185,9 | 6 |
186,0 | 4 |
186,1 | 1 |
Passo 3
Vamos calcular a média das resistências. Para isso, multiplicamos cada resistência pela quantidade de corpos, somamos tudo e dividimos pelo total de corpos.
Primeiro, calculamos o total de corpos:
Agora, calculamos a soma das resistências:
Então, a média (
) é:
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos acima. Vamos refazer:
A média correta seria:
No entanto, parece que há um erro conceitual, já que as resistências estão entre 185,5 e 186,1 MPa, então a média não pode ser 192,84. Vamos verificar os cálculos novamente:
Agora, a média:
Há claramente um erro, pois a média não pode exceder os valores individuais. Vamos revisar o total de corpos:
E a soma das resistências:
O erro está na multiplicação. Vamos recalcular:
Somando:
Agora, a média:
Passo 4
Agora que encontramos a média (
), precisamos calcular o desvio padrão para entender a variabilidade dos dados. Primeiro, calculamos a variância.
A fórmula da variância (
) é:
Vamos calcular cada
multiplicado pela quantidade de corpos:
Somando todos esses valores:
Então, a variância:
E o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Agora, vamos construir o intervalo de confiança de 95%. Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a média -
é o valor crítico da distribuição t de Student para 95% de confiança e graus de liberdade -
é o desvio padrão -
é o número total de corpos
Primeiro, encontramos
. Com
graus de liberdade e confiança de 95%, o valor de
é aproximadamente 2,093 (consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística).
Agora, calculamos o erro padrão da média:
Multiplicamos pelo valor crítico
:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a resistência média à ruptura do concreto é de aproximadamente
MPa a
MPa, ou seja: