51 | 53 | 49 | 50 | 48 | 47 | 49 | 46 | 50 | 47 | 48 | 49 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
47 | 50 | 49 | 48 | 51 | 50 | 47 | 49 | 50 | 49 | 47 | 51 |
Construa intervalos de 90% de confiança para a média e para o desvio-padrão dos pesos.
Passo 1
Entendendo o problema
Vamos lá! Você tem uma lista de pesos e quer descobrir duas coisas importantes sobre eles:
- Qual é a média desses pesos?
- Qual é a variação (ou desvio-padrão) desses pesos?
E não só isso, você quer ter 90% de certeza de que os intervalos que vamos calcular realmente contêm esses valores reais. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média e o desvio-padrão.
Passo 2
Organizando os dados
Primeiro, vamos listar todos os pesos que você forneceu:
Pesos:
51, 53, 49, 50, 48, 47, 49, 46, 50, 47, 48, 49, 50,
47, 50, 49, 48, 51, 50, 47, 49, 50, 49, 47, 51
51, 53, 49, 50, 48, 47, 49, 46, 50, 47, 48, 49, 50,
47, 50, 49, 48, 51, 50, 47, 49, 50, 49, 47, 51
Vamos contar quantos são no total para saber o tamanho da nossa amostra.
Total de pesos: 25
Passo 3
Calculando a média (valor médio) dos pesos
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores. Isso nos dá uma ideia de onde está o centro dos nossos dados.
Fórmula da média:
Vamos calcular:
Somando todos os pesos:
Agora, dividimos pela quantidade de dados:
Então, a média é 49 kg.
Passo 4
Calculando o desvio-padrão
O desvio-padrão nos mostra o quanto os valores individuais diferem da média. Um desvio-padrão baixo significa que os valores estão próximos da média, e alto, o contrário.
Fórmula do desvio-padrão amostral:
Vamos calcular passo a passo:
- Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado.
- Some todos esses valores.
- Divida pela quantidade de dados menos um.
- Tire a raiz quadrada do resultado.
Vamos lá:
Somando todos:
Agora, dividimos por $ n - 1 = 25 - 1 = 24 $:
E tiramos a raiz quadrada:
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 1.53 kg.
Passo 5
Construindo o intervalo de confiança para a média
Queremos ter 90% de certeza de que a média real está dentro de um certo intervalo. Para isso, usamos a distribuição t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra e não com a população inteira.
Fórmula do intervalo de confiança para a média:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição t para 90% de confiança e graus de liberdade -
é o desvio-padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Passos:
- Encontrar o valor crítico $ t_{\alpha/2, n-1} $.
- Calcular o erro padrão $ \frac{s}{\sqrt{n}} $.
- Construir o intervalo.
Vamos lá:
-
Valor crítico t:
Para 90% de confiança e 24 graus de liberdade, o valor crítico t é aproximadamente 1.711. -
Erro padrão:
- Intervalo de confiança:
Passo 6
Construindo o intervalo de confiança para o desvio-padrão
Agora, queremos saber um intervalo onde o verdadeiro desvio-padrão da população provavelmente está. Para isso, usamos a distribuição qui-quadrado (
).
Fórmula do intervalo de confiança para o desvio-padrão:
Onde:
-
echi^2alpha/2, n-1 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 90% de confiança echi^21 - alpha/2, n-1 graus de liberdade.n-1
Passos:
- Encontrar os valores críticos
.chi^2 - Calcular os limites inferior e superior.
- Tirar a raiz quadrada para obter o intervalo para o desvio-padrão.
Vamos lá:
-
Valores críticos
:chi^2
Para 90% de confiança e 24 graus de liberdade:-
chi^20.05, 24 approx 13.848 -
chi^20.95, 24 approx 36.415
-
-
Calculando os limites:
Resposta
O intervalo de 90% de confiança para a média dos pesos é de 48.48 kg a 49.52 kg, e o intervalo de 90% de confiança para o desvio-padrão dos pesos é de aproximadamente 1.24 kg a 2.02 kg.