51 53 49 50 48 47 49 46 50 47 48 49 50
47 50 49 48 51 50 47 49 50 49 47 51
Construa intervalos de 90% de confiança para a média e para o desvio-padrão dos pesos.

Passo 1

Entendendo o problema
Vamos lá! Você tem uma lista de pesos e quer descobrir duas coisas importantes sobre eles:
  1. Qual é a média desses pesos?
  2. Qual é a variação (ou desvio-padrão) desses pesos?
E não só isso, você quer ter 90% de certeza de que os intervalos que vamos calcular realmente contêm esses valores reais. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média e o desvio-padrão.

Passo 2

Organizando os dados
Primeiro, vamos listar todos os pesos que você forneceu:
Pesos:
51, 53, 49, 50, 48, 47, 49, 46, 50, 47, 48, 49, 50,
47, 50, 49, 48, 51, 50, 47, 49, 50, 49, 47, 51
Vamos contar quantos são no total para saber o tamanho da nossa amostra.
Total de pesos: 25

Passo 3

Calculando a média (valor médio) dos pesos
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores. Isso nos dá uma ideia de onde está o centro dos nossos dados.
Fórmula da média:
barx = sum xin
Vamos calcular:
barx = 51 + 53 + 49 + 50 + 48 + 47 + 49 + 46 + 50 + 47 + 48 + 49 + 50 + 47 + 50 + 49 + 48 + 51 + 50 + 47 + 49 + 50 + 49 + 47 + 5125
Somando todos os pesos:
51 + 53 = 104 104 + 49 = 153 153 + 50 = 203 203 + 48 = 251 251 + 47 = 298 298 + 49 = 347 347 + 46 = 393 393 + 50 = 443 443 + 47 = 490 490 + 48 = 538 538 + 49 = 587 587 + 50 = 637 637 + 47 = 684 684 + 50 = 734 734 + 49 = 783 783 + 48 = 831 831 + 51 = 882 882 + 50 = 932 932 + 47 = 979 979 + 49 = 1028 1028 + 50 = 1078 1078 + 49 = 1127 1127 + 47 = 1174 1174 + 51 = 1225
Agora, dividimos pela quantidade de dados:
barx = 122525 = 49
Então, a média é 49 kg.

Passo 4

Calculando o desvio-padrão
O desvio-padrão nos mostra o quanto os valores individuais diferem da média. Um desvio-padrão baixo significa que os valores estão próximos da média, e alto, o contrário.
Fórmula do desvio-padrão amostral:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular passo a passo:
  1. Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado.
  2. Some todos esses valores.
  3. Divida pela quantidade de dados menos um.
  4. Tire a raiz quadrada do resultado.
Vamos lá:
(51 - 49)^2 &= 4 (53 - 49)^2 &= 16 (49 - 49)^2 &= 0 (50 - 49)^2 &= 1 (48 - 49)^2 &= 1 (47 - 49)^2 &= 4 (49 - 49)^2 &= 0 (46 - 49)^2 &= 9 (50 - 49)^2 &= 1 (47 - 49)^2 &= 4 (48 - 49)^2 &= 1 (49 - 49)^2 &= 0 (50 - 49)^2 &= 1 (47 - 49)^2 &= 4 (50 - 49)^2 &= 1 (49 - 49)^2 &= 0 (48 - 49)^2 &= 1 (51 - 49)^2 &= 4 (50 - 49)^2 &= 1 (47 - 49)^2 &= 4 (49 - 49)^2 &= 0 (50 - 49)^2 &= 1 (49 - 49)^2 &= 0 (47 - 49)^2 &= 4 (51 - 49)^2 &= 4
Somando todos:
4 + 16 + 0 + 1 + 1 + 4 + 0 + 9 + 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0 + 1 + 0 + 4 + 4 = 56
Agora, dividimos por $ n - 1 = 25 - 1 = 24 $:
n - 1 = 25 - 1 = 24
E tiramos a raiz quadrada:
5624 approx 2.3333
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 1.53 kg.

Passo 5

Construindo o intervalo de confiança para a média
Queremos ter 90% de certeza de que a média real está dentro de um certo intervalo. Para isso, usamos a distribuição t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra e não com a população inteira.
Fórmula do intervalo de confiança para a média:
IC = barx pm talpha/2, n-1 times sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • talpha/2, n-1 é o valor crítico da distribuição t para 90% de confiança e n-1 graus de liberdade
  • s é o desvio-padrão amostral
  • n é o tamanho da amostra
Passos:
  1. Encontrar o valor crítico $ t_{\alpha/2, n-1} $.
  2. Calcular o erro padrão $ \frac{s}{\sqrt{n}} $.
  3. Construir o intervalo.
Vamos lá:
  1. Valor crítico t:
    Para 90% de confiança e 24 graus de liberdade, o valor crítico t é aproximadamente 1.711.
  2. Erro padrão:
talpha/2, n-1
  1. Intervalo de confiança:
sraizn
sraizn = 1.53raiz25 = 1.535 = 0.306
IC = 49 pm 1.711 times 0.306

Passo 6

Construindo o intervalo de confiança para o desvio-padrão
Agora, queremos saber um intervalo onde o verdadeiro desvio-padrão da população provavelmente está. Para isso, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2).
Fórmula do intervalo de confiança para o desvio-padrão:
IC = ( raiz (n - 1)s^2chi^2alpha/2, n-1 , raiz (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2, n-1 )
Onde:
  • chi^2alpha/2, n-1 e chi^21 - alpha/2, n-1 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 90% de confiança e n-1 graus de liberdade.
Passos:
  1. Encontrar os valores críticos chi^2.
  2. Calcular os limites inferior e superior.
  3. Tirar a raiz quadrada para obter o intervalo para o desvio-padrão.
Vamos lá:
  1. Valores críticos chi^2:
    Para 90% de confiança e 24 graus de liberdade:
    • chi^20.05, 24 approx 13.848
    • chi^20.95, 24 approx 36.415
  2. Calculando os limites:
Limite Inferior = raiz (25 - 1) times (1.53)^236.415 = raiz 24 times 2.340936.415 = raiz 56.181636.415 approx raiz1.542 approx 1.24
Limite Superior = raiz 24 times 2.340913.848 = raiz 56.181613.848 approx raiz4.058 approx 2.016

Resposta

O intervalo de 90% de confiança para a média dos pesos é de 48.48 kg a 49.52 kg, e o intervalo de 90% de confiança para o desvio-padrão dos pesos é de aproximadamente 1.24 kg a 2.02 kg.

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