Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(g) a b=0 \Longleftrightarrow a=0 e b=0.

Passo 1

O enunciado dá a “equivalência”
ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \text{ e } b=0,
com a,b\in\mathbb{R}, e pede para encontrar a implicação que não vale. Vou listar claramente o que isso significa:
  • A equivalência é a conjunção de duas implicações:
    1. \;ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ e } b=0.
    2. \;a=0 \text{ e } b=0 \Rightarrow ab=0.
  • Preciso mostrar qual dessas duas implicações é falsa e dar um contraexemplo explícito, ou provar que a implicação é verdadeira quando for o caso.

Passo 2

Analisando a implicação (2): se a=0 e b=0, então multiplicando 0 por 0 obtemos
ab = 0\cdot 0 = 0.
Portanto a implicação
a=0 \text{ e } b=0 \Rightarrow ab=0
é verdadeira. Isso é imediato pela definição da multiplicação: qualquer produto com um fator zero é zero.

Passo 3

Agora analisar a implicação (1):
ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ e } b=0.
Vou mostrar que essa implicação é falsa fornecendo um contraexemplo explícito (basta um caso onde ab=0 mas a conjunção a=0 e b=0 é falsa).

Passo 4

Contraexemplo explícito. Tome, por exemplo,
a=0,\qquad b=1.
Calcula-se o produto:
ab = 0\cdot 1 = 0,
logo a hipótese ab=0 é satisfeita. Mas a conjunção a=0 e b=0 é falsa porque b=1\neq 0. Assim temos um caso com ab=0 em que não ocorre a=0 e b=0 simultaneamente. Portanto a implicação (1) é falsa.

Passo 5

Explicação didática da propriedade correta: o que vale é a “propriedade do produto nulo”
ab=0 \Longleftrightarrow \bigl(a=0 \text{ ou } b=0\bigr).
Prova rápida:
  • Se a=0 ou b=0 então claramente ab=0.
  • Recíproco: se ab=0 e a\neq 0, divide-se por a (possível porque a\neq 0) obtendo b=0. Logo se ab=0 então pelo menos um dos fatores é zero. Isto muestra que devemos usar “ou” ( \text{ou}, disjunção) e não “e” (conjunção).

Resposta

A implicação falsa é \;ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ e } b=0.
Contraexemplo: a=0,\\ b=1 (temos ab=0 mas b\neq0).

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