Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(g)
e
.
(g)
Passo 1
O enunciado dá a “equivalência”
com
, e pede para encontrar a implicação que não vale. Vou listar claramente o que isso significa:
- A equivalência é a conjunção de duas implicações:
-
- Preciso mostrar qual dessas duas implicações é falsa e dar um contraexemplo explícito, ou provar que a implicação é verdadeira quando for o caso.
Passo 2
Analisando a implicação (2): se
e
, então multiplicando
por
obtemos
Portanto a implicação
é verdadeira. Isso é imediato pela definição da multiplicação: qualquer produto com um fator zero é zero.
Passo 3
Agora analisar a implicação (1):
Vou mostrar que essa implicação é falsa fornecendo um contraexemplo explícito (basta um caso onde
mas a conjunção
e
é falsa).
Passo 4
Contraexemplo explícito. Tome, por exemplo,
Calcula-se o produto:
logo a hipótese
é satisfeita. Mas a conjunção
e
é falsa porque
. Assim temos um caso com
em que não ocorre
e
simultaneamente. Portanto a implicação (1) é falsa.
Passo 5
Explicação didática da propriedade correta: o que vale é a “propriedade do produto nulo”
Prova rápida:
- Se
ou então claramente . - Recíproco: se
e , divide-se por (possível porque ) obtendo . Logo se então pelo menos um dos fatores é zero. Isto muestra que devemos usar “ou” ( , disjunção) e não “e” (conjunção).
Resposta
A implicação falsa é
Contraexemplo: (temos
mas
).
Contraexemplo: