Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(i) Um polinômio com coeficientes reais tem raiz real se, e somente se, tiver grau ímpar.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre qual implicação dentro da equivalência é falsa e que eu forneça um contraexemplo explícito. A sentença dada é:
Um polinômio com coeficientes reais tem raiz real se, e somente se, tiver grau ímpar.
Ou seja, a afirmação é uma bicondicional “A se, e somente se, B”, onde
  • A: “o polinômio tem raiz real”;
  • B: “o polinômio tem grau ímpar”.
Preciso identificar qual das duas implicações (A ⇒ B e B ⇒ A) não vale e dar um exemplo explícito em \mathbb{R} que mostre a falha.

Passo 2

Vamos separar a bicondicional em duas implicações e testar cada uma:
  1. Direção 1: Se um polinômio com coeficientes reais tem raiz real (A), então ele tem grau ímpar (B). (A ⇒ B)
  2. Direção 2: Se um polinômio tem grau ímpar (B), então ele tem raiz real (A). (B ⇒ A)
O objetivo agora é analisar a validade de cada direção.

Passo 3

Vou explicar duas ideias teóricas que ajudam a entender essas implicações (de forma didática e sem pular passos).
  • Ideia 1 — pares de raízes complexas conjugadas: Se um polinômio tem coeficientes reais, então quaisquer raízes complexas não reais aparecem em pares conjugados. Por exemplo, se z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} é raiz, então seu conjugado \overline{z} também é raiz. Assim, as raízes não reais aparecem em blocos de tamanho 2.
  • Consequência: Se todas as raízes fossem não reais, o número total de raízes (contando multiplicidades) seria par. Portanto, se o grau do polinômio é ímpar, não é possível que todas as raízes sejam não reais — sobra pelo menos uma raiz real. Esta é uma razão algebraica que mostra por que (B ⇒ A) costuma ser verdadeira.
  • Ideia 2 — Teorema do valor intermediário (intuição analítica): Um polinômio de grau ímpar tem comportamento nas extremidades de sinal oposto: quando x\to +\infty e x\to -\infty os sinais das imagens são diferentes (porque o termo de maior grau domina e muda de sinal ao trocar x por -x quando o grau é ímpar). Sendo contínuo, pelo Teorema do Valor Intermediário ele atinge zero em algum ponto — ou seja, tem pelo menos uma raiz real. Isso é outra explicação de por que (B ⇒ A) é verdadeira.
Conclusão provisória: a direção (B ⇒ A) é verdadeira (polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real).

Passo 4

Agora checo a direção (A ⇒ B): “Se o polinômio tem raiz real, então seu grau é ímpar.” Vou mostrar que isso é falso com um contraexemplo explícito (isso é suficiente para invalidar a implicação).
Considere o polinômio
p(x)=x^{2}.
Esse polinômio tem coeficientes reais e grau 2 (que é par). Verifico se tem raiz real:
p(0)=0^{2}=0,
então x=0 é raiz real de p. Assim, p tem raiz real e, ao mesmo tempo, seu grau é par. Isso contradiz a implicação (A ⇒ B), portanto essa implicação não vale.
Posso também dar outro contraexemplo para ficar claro: q(x)=x^{2}-1 tem raízes reais x=\pm1 e grau 2 (par). De novo, polinômio com raiz real e grau par.

Passo 5

Resumo didático e conclusão (para a prova):
  • Está correta a afirmação “se o grau é ímpar então o polinômio tem raiz real” — isso pode ser justificado pelo Teorema Fundamental da Álgebra mais a observação sobre conjugados, ou pelo Teorema do Valor Intermediário.
  • Está incorreta a afirmação “se o polinômio tem raiz real então o grau é ímpar”. Contraexemplos simples (como x^{2} ou x^{2}-1) mostram que polinômios de grau par também podem ter raízes reais. Assim a bicondicional original é falsa porque uma das implicações (a que vai de “tem raiz real” para “grau ímpar”) falha.

Resposta

A implicação que não vale é: “Se um polinômio com coeficientes reais tem raiz real, então seu grau é ímpar.”
Contraexemplo explícito: p(x)=x^{2} tem raiz real ( p(0)=0) e grau 2 (par).

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