Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(j)
.
(j)
Passo 1
O enunciado dá a “equivalência”
com
. O que se pede é encontrar qual das implicações dessa cadeia não vale e apresentar contraexemplo(s) explícito(s).
Passo 2
Vamos entender direito a primeira desigualdade
Observação importante (regra útil): para qualquer número real não nulo
vale que
tem o mesmo sinal que
. Logo a desigualdade acima é equivalente a
com a ressalva de que
(pois nesses pontos a expressão não está definida).
Passo 3
Resolver
usando análise de sinais:
- As raízes são
e . - Em cada intervalo:
- Para
: e então . - Para
: e então . - Para
: e então .
Portanto a solução da desigualdade original é
- Para
com
(já incluso nas desigualdades).
Passo 4
Agora analisamos a desigualdade do meio:
Pela mesma regra de sinais, isso equivale a
com
. Logo
Passo 5
Comparando os conjuntos solução que encontramos:
- Para
o conjunto é . - Para
o conjunto é .
Esses conjuntos são disjuntos; portanto a equivalência entre a primeira e a segunda desigualdade é falsa. A segunda equivalência (entre
e
) é verdadeira.
Passo 6
Para mostrar explicitamente que a implicação dada é falsa, basta contraexemplos:
- Tomando
: , então a primeira desigualdade é verdadeira em . Mas , então a segunda desigualdade é falsa em . Logo não vale a implicação
- Para mostrar que também a implicação inversa falha, tome
: (segunda desigualdade verdadeira), mas (primeira desigualdade falsa). Logo não vale nem
Passo 7
Explicação conceitual do erro algébrico: a “passagem” de
para
corresponde, informalmente, a multiplicar ambos os lados da desigualdade por
. Isso só é permitido sem mudar o sentido se soubermos que
; se
o sinal da desigualdade se inverte. Como o sinal de
varia com
, não se pode fazer essa operação sem considerar casos — e foi exatamente esse passo inválido que gerou a “equivalência” falsa.
Resposta
A implicação entre
e
é falsa. Contraexemplos:
(primeira verdadeira, segunda falsa) e
(segunda verdadeira, primeira falsa).