Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(j) \frac{1}{(x-2)(x+2)}<0 \Longleftrightarrow \frac{1}{x+2}<0 \Longleftrightarrow x<-2.

Passo 1

O enunciado dá a “equivalência”
\frac{1}{(x-2)(x+2)}<0 \Longleftrightarrow \frac{1}{x+2}<0 \Longleftrightarrow x<-2,
com x\in\mathbb{R}. O que se pede é encontrar qual das implicações dessa cadeia não vale e apresentar contraexemplo(s) explícito(s).

Passo 2

Vamos entender direito a primeira desigualdade
\frac{1}{(x-2)(x+2)}<0.
Observação importante (regra útil): para qualquer número real não nulo t vale que \dfrac{1}{t} tem o mesmo sinal que t. Logo a desigualdade acima é equivalente a
(x-2)(x+2)<0,
com a ressalva de que x\neq\pm2 (pois nesses pontos a expressão não está definida).

Passo 3

Resolver (x-2)(x+2)<0 usando análise de sinais:
  • As raízes são x=-2 e x=2.
  • Em cada intervalo:
    • Para x<-2: x-2<0 e x+2<0 então (x-2)(x+2)>0.
    • Para -2<x<2: x-2<0 e x+2>0 então (x-2)(x+2)<0.
    • Para x>2: x-2>0 e x+2>0 então (x-2)(x+2)>0.
      Portanto a solução da desigualdade original é
\frac{1}{(x-2)(x+2)}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<2,
com x\neq\pm2 (já incluso nas desigualdades).

Passo 4

Agora analisamos a desigualdade do meio:
\frac{1}{x+2}<0.
Pela mesma regra de sinais, isso equivale a
x+2<0,
com x\neq-2. Logo
\frac{1}{x+2}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-2.

Passo 5

Comparando os conjuntos solução que encontramos:
  • Para \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}<0 o conjunto é (-2,2).
  • Para \dfrac{1}{x+2}<0 o conjunto é (-\infty,-2).
Esses conjuntos são disjuntos; portanto a equivalência entre a primeira e a segunda desigualdade é falsa. A segunda equivalência (entre \dfrac{1}{x+2}<0 e x<-2) é verdadeira.

Passo 6

Para mostrar explicitamente que a implicação dada é falsa, basta contraexemplos:
  • Tomando x=0: \dfrac{1}{(0-2)(0+2)}=\dfrac{1}{-4}=-\tfrac{1}{4}<0, então a primeira desigualdade é verdadeira em x=0. Mas \dfrac{1}{0+2}=\tfrac{1}{2}>0, então a segunda desigualdade é falsa em x=0. Logo não vale a implicação
\frac{1}{(x-2)(x+2)}<0 \Longrightarrow \frac{1}{x+2}<0.
  • Para mostrar que também a implicação inversa falha, tome x=-3: \dfrac{1}{-3+2}=\dfrac{1}{-1}=-1<0 (segunda desigualdade verdadeira), mas \dfrac{1}{(-3-2)(-3+2)}=\dfrac{1}{(-5)(-1)}=\dfrac{1}{5}>0 (primeira desigualdade falsa). Logo não vale nem
\frac{1}{x+2}<0 \Longrightarrow \frac{1}{(x-2)(x+2)}<0.

Passo 7

Explicação conceitual do erro algébrico: a “passagem” de \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}<0 para \dfrac{1}{x+2}<0 corresponde, informalmente, a multiplicar ambos os lados da desigualdade por x-2. Isso só é permitido sem mudar o sentido se soubermos que x-2>0; se x-2<0 o sinal da desigualdade se inverte. Como o sinal de x-2 varia com x, não se pode fazer essa operação sem considerar casos — e foi exatamente esse passo inválido que gerou a “equivalência” falsa.

Resposta

A implicação entre \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}<0 e \dfrac{1}{x+2}<0 é falsa. Contraexemplos: x=0 (primeira verdadeira, segunda falsa) e x=-3 (segunda verdadeira, primeira falsa).

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