José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de
a.a. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal
superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de
382,50
, de
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor nominal, em reais, do título que produziu o maior desconto, sabendo que os dois descontos somaram
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Primeiro título: vencimento em
dias e valor nominal desconhecido, chame de .
- Segundo título: vencimento em
dias e valor nominal superior ao primeiro, ou seja .
- Regime: juros simples comerciais à taxa de
a.a. (usar o ano comercial de dias, que é a convenção em desconto comercial).
- Soma dos descontos dos dois títulos:
.
Pergunta final: qual o valor nominal (em R$) do título que produziu o maior desconto?
Passo 2
Definimos as variáveis e a fórmula do desconto comercial em juros simples.\n
Explicação didática da fórmula: no desconto comercial simples (também chamado de desconto bancário simples) o desconto sobre um título de valor nominal
para um prazo
(em anos) e taxa anual
é dado por
Explicação didática da fórmula: no desconto comercial simples (também chamado de desconto bancário simples) o desconto
Aqui:
-
é o desconto (quanto o banco retira do valor nominal quando descontado),
-
é o valor nominal do título,
-
é a taxa anual em forma decimal (por exemplo vira ),
-
é o tempo até o vencimento em anos. Como usamos ano comercial, .
Aplicando isso aos dois títulos:
Passo 3
Substituímos
e
nas expressões de
e
e simplificamos passo a passo.\n
Para :
Para
Calculemos a fração:
. Então
Multiplicando:
e
. Portanto
Passo 4
Agora
:
Primeiro simplificamos
. Logo
Substituindo
:
Calculemos
.
Assim
Assim
Passo 5
Somamos os descontos e usamos o dado
.\n
Temos
Temos
Portanto
Para resolver
dividimos:
Observação útil:
(porque
). Então
Calculemos:
. Agora
. Logo
Passo 6
Verificamos qual título produziu o maior desconto.\n
Com temos
Com
Portanto
, ou seja, o título que produziu o maior desconto é o primeiro título, cujo valor nominal é
. Isso corresponde à alternativa (e).
Resposta
(e)