José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de 15 \% a.a. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal 50 \% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de \mathrm{R} \ 382,50 , o título que produziu o maior desconto tinha valor nominal, em R\í, de
(a) 1.700,00
(b) 1.900,00
(c) 1.850,00
(d) 1.750,00
(e) 1.800,00

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor nominal, em reais, do título que produziu o maior desconto, sabendo que os dois descontos somaram \mathrm{R\$}\,382,50.\n
Informações dadas:
  • Primeiro título: vencimento em 270 dias e valor nominal desconhecido, chame de N_1.
  • Segundo título: vencimento em 160 dias e valor nominal 50\% superior ao primeiro, ou seja N_2 = 1{,}5\,N_1.
  • Regime: juros simples comerciais à taxa de 15\% a.a. (usar o ano comercial de 360 dias, que é a convenção em desconto comercial).
  • Soma dos descontos dos dois títulos: D_1 + D_2 = \mathrm{R\$}\,382{,}50.

    Pergunta final: qual o valor nominal (em R$) do título que produziu o maior desconto?

Passo 2

Definimos as variáveis e a fórmula do desconto comercial em juros simples.\n
Explicação didática da fórmula: no desconto comercial simples (também chamado de desconto bancário simples) o desconto D sobre um título de valor nominal N para um prazo t (em anos) e taxa anual i é dado por
D = N \cdot i \cdot t.
Aqui:
  • D é o desconto (quanto o banco retira do valor nominal quando descontado),
  • N é o valor nominal do título,
  • i é a taxa anual em forma decimal (por exemplo 15\% vira 0{,}15),
  • t é o tempo até o vencimento em anos. Como usamos ano comercial, t=(\text{dias})/360.

    Aplicando isso aos dois títulos:
D_1 = N_1 \cdot i \cdot \frac{270}{360},
D_2 = N_2 \cdot i \cdot \frac{160}{360}.

Passo 3

Substituímos N_2 = 1{,}5\,N_1 e i = 0{,}15 nas expressões de D_1 e D_2 e simplificamos passo a passo.\n
Para D_1:
D_1 = N_1 \cdot 0{,}15 \cdot \frac{270}{360}.
Calculemos a fração: \frac{270}{360}=\frac{3}{4}. Então
D_1 = N_1 \cdot 0{,}15 \cdot \frac{3}{4}.
Multiplicando: 0{,}15\cdot 3 = 0{,}45 e 0{,}45/4 = 0{,}1125. Portanto
D_1 = 0{,}1125\,N_1.

Passo 4

Agora D_2:
D_2 = N_2 \cdot 0{,}15 \cdot \frac{160}{360}.
Primeiro simplificamos \frac{160}{360}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}. Logo
D_2 = N_2 \cdot 0{,}15 \cdot \frac{4}{9}.
Substituindo N_2 = 1{,}5\,N_1:
D_2 = 1{,}5\,N_1 \cdot 0{,}15 \cdot \frac{4}{9}.
Calculemos 0{,}15\cdot\frac{4}{9} = \frac{15}{100}\cdot\frac{4}{9} = \frac{60}{900} = \frac{1}{15} \approx 0{,}066666\ldots.
Assim
D_2 = 1{,}5\,N_1 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1{,}5}{15}\,N_1 = 0{,}1\,N_1.

Passo 5

Somamos os descontos e usamos o dado D_1+D_2=\mathrm{R\$}\,382{,}50.\n
Temos
D_1+D_2 = 0{,}1125\,N_1 + 0{,}1\,N_1 = 0{,}2125\,N_1.
Portanto
0{,}2125\,N_1 = 382{,}50.
Para resolver N_1 dividimos:
N_1 = \frac{382{,}50}{0{,}2125}.
Observação útil: 0{,}2125=\frac{17}{80} (porque 0{,}2125\times 80=17). Então
N_1 = 382{,}50 \cdot \frac{80}{17}.
Calculemos: 382{,}50 \times 80 = 30\,600. Agora 30\,600 \div 17 = 1\,800. Logo
N_1 = 1\,800{,}00.

Passo 6

Verificamos qual título produziu o maior desconto.\n
Com N_1 = 1\,800{,}00 temos
D_1 = 0{,}1125 \times 1\,800 = 202{,}50,
D_2 = 0{,}1 \times 1\,800 = 180{,}00.
Portanto D_1>D_2, ou seja, o título que produziu o maior desconto é o primeiro título, cujo valor nominal é \mathrm{R\$}\,1\,800{,}00. Isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

\text{R\$ }1.800,00
(e)

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