Um jovem atleta sente-se atraído pela parática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se, por experiência, que:
Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto que cada etapa ciclística consome 1000 calorias.
Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes, elabore um programa linear que maxime o número de seções de treinamento entre os dois esportes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação 1: Cada seção de natação consome 1500 calorias.
  • Informação 2: Cada etapa de ciclismo consome 1000 calorias.
  • Informação 3: O rapaz “gosta igualmente de ambos os esportes”. (Vamos interpretar isto como uma preferência por fazer o mesmo número de sessões de natação e de ciclismo.)
  • O que se pede: elaborar um programa linear (ou seja, formular um problema de programação linear) que maximize o número total de sessões de treinamento entre os dois esportes.
Observação importante (parâmetro que aparece naturalmente no modelo): para escrever a restrição de calorias é preciso conhecer o total de calorias disponíveis para gastar em treinamento. Como o enunciado não especificou um valor numérico, vou introduzir um parâmetro T que representa o total de calorias que o atleta pode consumir no período considerado (por exemplo, por semana). Não estou pedindo informação ao usuário — estou apenas deixando o modelo genérico em função de T.

Passo 2

Definir variáveis (passo essencial em programação linear — sempre comece declarando o que cada variável significa):
  • Seja x o número de seções de natação (cada uma consome 1500 calorias).
  • Seja y o número de etapas de ciclismo (cada uma consome 1000 calorias).
Explicação intuitiva do objetivo: queremos maximizar o número total de sessões, que é x+y. Isto é o que será a função objetivo.
Explicação das restrições principais que o enunciado impõe ou que decorrem da interpretação:
  • Restrição de calorias: o total gasto não pode ultrapassar o total disponível T. Isso dá a inequação 1500x+1000y\le T.
  • Restrição da preferência “gostar igualmente”: isso implica exigir o mesmo número de sessões de cada esporte, ou seja x=y.
  • Restrição natural de não-negatividade: x\ge 0 e y\ge 0. Como sessões são contagens, em contextos práticos também se exige integridade: x,y inteiros não negativos, mas a formulação linear padrão permite x,y\ge0 contínuos; depois tratamos o caso inteiro.

Passo 3

Escrever o programa linear (modelo matemático) de forma limpa:
\text{Maximizar}\quad Z = x + y
\text{sujeito a}
1500x + 1000y \le T
x - y = 0
x \ge 0,\quad y \ge 0.
Aqui T é o parâmetro que representa o total de calorias disponíveis no período de treinamento. Este é o programa linear geral pedido.

Passo 4

Resolver o modelo de forma analítica (mostrando como achar a solução para usar na prova):
  • A restrição x-y=0 implica y=x. Substituindo na restrição de calorias:
1500x + 1000x \le T.
  • Somando os coeficientes:
2500x \le T.
  • Daí:
x \le \dfrac{T}{2500}.
  • Como queremos maximizar Z=x+y=2x, para maximizar Z devemos tomar x o maior possível dentro da restrição, ou seja
x^\star = \dfrac{T}{2500}
no caso contínuo. Então
y^\star = x^\star = \dfrac{T}{2500}
e o número total de sessões máximo (valor objetivo) é
Z^\star = x^\star+y^\star = 2\dfrac{T}{2500} = \dfrac{T}{1250}.
  • Observação prática (contagem inteira de sessões): se as sessões têm de ser inteiras, então x e y devem ser inteiros não negativos. Nesse caso
x^\star = y^\star = \left\lfloor \dfrac{T}{2500}\right\rfloor
e o total máximo inteiro de sessões é
Z^\star = 2\left\lfloor \dfrac{T}{2500}\right\rfloor.

Passo 5

Interpretação didática e dica rápida para a prova (passo pedagógico e motivador):
  • O raciocínio principal foi: definir variáveis, escrever a função objetivo (maximizar x+y), e colocar as restrições que vêm da realidade (calorias) e da preferência (igualdade x=y). Esse é o roteiro padrão para quase todo problema de programação linear — memorize e pratique!
  • Observação útil: se ele não tivesse que fazer a mesma quantidade de cada esporte, para maximizar o número de sessões sob uma mesma quantidade T de calorias seria melhor investir totalmente no esporte que consome menos calorias por sessão (ciclismo, 1000 cal/sessão), porque assim se obtém mais sessões por caloria. Mas como aqui impusemos x=y, o equilíbrio força uma combinação que usa as duas atividades igualmente.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se T=10000 calorias disponíveis, então x\le 10000/2500=4. Assim x^\star=y^\star=4 e o total máximo de sessões é 8. Se precisar de inteiros, o mesmo resultado se mantém porque 10000/2500 já é inteiro.

Resposta

\text{Maximizar}\quad Z = x + y
\text{sujeito a}
1500x + 1000y \le T
x - y = 0
x \ge 0,\quad y \ge 0.
Solução: x^\star=y^\star=\dfrac{T}{2500} (caso contínuo), ou x^\star=y^\star=\left\lfloor\dfrac{T}{2500}\right\rfloor (se x,y devem ser inteiros), e o total máximo de sessões é Z^\star=\dfrac{T}{1250} contínuo, ou Z^\star=2\left\lfloor\dfrac{T}{2500}\right\rfloor inteiro.

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