Um jovem atleta sente-se atraído pela parática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se, por experiência, que:
Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto que cada etapa ciclística consome 1000 calorias.
Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes, elabore um programa linear que maxime o número de seções de treinamento entre os dois esportes.
Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto que cada etapa ciclística consome 1000 calorias.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: Cada seção de natação consome
calorias. - Informação 2: Cada etapa de ciclismo consome
calorias. - Informação 3: O rapaz “gosta igualmente de ambos os esportes”. (Vamos interpretar isto como uma preferência por fazer o mesmo número de sessões de natação e de ciclismo.)
- O que se pede: elaborar um programa linear (ou seja, formular um problema de programação linear) que maximize o número total de sessões de treinamento entre os dois esportes.
Observação importante (parâmetro que aparece naturalmente no modelo): para escrever a restrição de calorias é preciso conhecer o total de calorias disponíveis para gastar em treinamento. Como o enunciado não especificou um valor numérico, vou introduzir um parâmetro
que representa o total de calorias que o atleta pode consumir no período considerado (por exemplo, por semana). Não estou pedindo informação ao usuário — estou apenas deixando o modelo genérico em função de
.
Passo 2
Definir variáveis (passo essencial em programação linear — sempre comece declarando o que cada variável significa):
- Seja
o número de seções de natação (cada uma consome calorias). - Seja
o número de etapas de ciclismo (cada uma consome calorias).
Explicação intuitiva do objetivo: queremos maximizar o número total de sessões, que é
. Isto é o que será a função objetivo.
Explicação das restrições principais que o enunciado impõe ou que decorrem da interpretação:
- Restrição de calorias: o total gasto não pode ultrapassar o total disponível
. Isso dá a inequação . - Restrição da preferência “gostar igualmente”: isso implica exigir o mesmo número de sessões de cada esporte, ou seja
. - Restrição natural de não-negatividade:
e . Como sessões são contagens, em contextos práticos também se exige integridade: inteiros não negativos, mas a formulação linear padrão permite contínuos; depois tratamos o caso inteiro.
Passo 3
Escrever o programa linear (modelo matemático) de forma limpa:
Aqui
é o parâmetro que representa o total de calorias disponíveis no período de treinamento. Este é o programa linear geral pedido.
Passo 4
Resolver o modelo de forma analítica (mostrando como achar a solução para usar na prova):
- A restrição
implica . Substituindo na restrição de calorias:
- Somando os coeficientes:
- Daí:
- Como queremos maximizar
, para maximizar devemos tomar o maior possível dentro da restrição, ou seja
no caso contínuo. Então
e o número total de sessões máximo (valor objetivo) é
- Observação prática (contagem inteira de sessões): se as sessões têm de ser inteiras, então
e devem ser inteiros não negativos. Nesse caso
e o total máximo inteiro de sessões é
Passo 5
Interpretação didática e dica rápida para a prova (passo pedagógico e motivador):
- O raciocínio principal foi: definir variáveis, escrever a função objetivo (maximizar
), e colocar as restrições que vêm da realidade (calorias) e da preferência (igualdade ). Esse é o roteiro padrão para quase todo problema de programação linear — memorize e pratique! - Observação útil: se ele não tivesse que fazer a mesma quantidade de cada esporte, para maximizar o número de sessões sob uma mesma quantidade
de calorias seria melhor investir totalmente no esporte que consome menos calorias por sessão (ciclismo, cal/sessão), porque assim se obtém mais sessões por caloria. Mas como aqui impusemos , o equilíbrio força uma combinação que usa as duas atividades igualmente. - Exemplo numérico rápido para fixar: se
calorias disponíveis, então . Assim e o total máximo de sessões é . Se precisar de inteiros, o mesmo resultado se mantém porque já é inteiro.
Resposta
Solução:
(caso contínuo), ou
(se
devem ser inteiros), e o total máximo de sessões é
contínuo, ou
inteiro.