Representar no plano cartesiano as regiões factíveis dos seguintes programas lineares:
\begin{array}{lc}\text { Minimizar } & 2 x_{1}+x_{2} \\\ \text { sujeito a } & x_{1}-x_{2} \geq 1 \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10 \\\ & x_{1}+3 x_{2} \geq 12 \\\ & x_{1}, x_{2} \geq 0\end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: representar no plano cartesiano a(s) região(ões) factíveis do programa linear dado (ou seja, desenhar a interseção dos semiplanos definidos pelas restrições).
  • Restrições (peguei diretamente do enunciado):
    • \;x_{1}-x_{2}\ge 1
    • \;x_{1}+x_{2}\le 10
    • \;x_{1}+3x_{2}\ge 12
    • \;x_{1}\ge 0,\;x_{2}\ge 0
Informações úteis para desenhar: cada desigualdade define um semiplano limitado por uma reta; a região factível é a interseção desses semiplanos (e do primeiro quadrante).

Passo 2

Escrever as retas associadas às desigualdades em forma que facilite desenhar (forma reduzida x_{2}=\dots e interceptos com os eixos):
  • Da reta correspondente a \;x_{1}-x_{2}=1 temos
    x_{2}=x_{1}-1.
    Interceptos: para x_{2}=0 temos x_{1}=1 ponto (1,0). Para x_{1}=0 temos x_{2}=-1 ponto (0,-1) (este último fica fora do primeiro quadrante, mas serve para traçar a reta).
  • Da reta correspondente a \;x_{1}+x_{2}=10 temos
    x_{2}=10-x_{1}.
    Interceptos: (0,10) e (10,0).
  • Da reta correspondente a \;x_{1}+3x_{2}=12 temos
    x_{2}=4-\frac{x_{1}}{3}.
    Interceptos: para x_{1}=0 temos (0,4); para x_{2}=0 temos (12,0).
Agora já dá para traçar no papel cada reta usando dois pontos por reta.

Passo 3

Como escolher o semiplano correto (qual lado da reta corresponde à desigualdade): use teste por substituição (pegar um ponto e testar as desigualdades).
  • Teste o ponto (0,0):
    • \;x_{1}-x_{2}\ge 1 fica 0-0\ge1 falso. Logo o semiplano válido para essa desigualdade é o lado oposto ao que contém a origem.
    • \;x_{1}+x_{2}\le 10 fica 0+0\le10 verdadeiro. Logo o semiplano válido é o que contém a origem.
    • \;x_{1}+3x_{2}\ge12 fica 0+0\ge12 falso. Logo o semiplano válido é o lado oposto ao que contém a origem.
  • Além disso, \;x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0 restringem à primeira metade do plano (primeiro quadrante).
Resumo prático para sombrear ao desenhar:
  • Para \;x_{2}=x_{1}-1 sombrear o lado onde x_{2}\le x_{1}-1 (pois a desigualdade original era x_{1}-x_{2}\ge1 \Rightarrow x_{2}\le x_{1}-1).
  • Para \;x_{2}=10-x_{1} sombrear o lado onde x_{2}\le 10-x_{1}.
  • Para \;x_{2}=4-\dfrac{x_{1}}{3} sombrear o lado onde x_{2}\ge 4-\dfrac{x_{1}}{3}.
  • Interseção com x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.

Passo 4

Calcular os pontos de interseção relevantes entre as retas (esses serão candidatos a vértices da região factível). Resolver sistemas 2×2 por substituição ou soma.
  1. Interseção entre x_{1}-x_{2}=1 e x_{1}+x_{2}=10.
Soma das equações:
(x_{1}-x_{2})+(x_{1}+x_{2})=1+10 \Rightarrow 2x_{1}=11 \Rightarrow x_{1}=\frac{11}{2}.
Então
x_{2}=10-x_{1}=10-\frac{11}{2}=\frac{20-11}{2}=\frac{9}{2}.
Ponto: \left(\dfrac{11}{2},\dfrac{9}{2}\right) (ou (5{,}5,\;4{,}5)).
  1. Interseção entre x_{1}-x_{2}=1 e x_{1}+3x_{2}=12.
Substituir x_{2}=x_{1}-1 na terceira equação:
x_{1}+3(x_{1}-1)=12 \Rightarrow x_{1}+3x_{1}-3=12 \Rightarrow 4x_{1}=15 \Rightarrow x_{1}=\frac{15}{4}.
Então
x_{2}=x_{1}-1=\frac{15}{4}-1=\frac{11}{4}.
Ponto: \left(\dfrac{15}{4},\dfrac{11}{4}\right) (ou (3{,}75,\;2{,}75)).
  1. Interseção entre x_{1}+x_{2}=10 e x_{1}+3x_{2}=12.
Subtrair a primeira da segunda:
(x_{1}+3x_{2})-(x_{1}+x_{2})=12-10 \Rightarrow 2x_{2}=2 \Rightarrow x_{2}=1.
Então
x_{1}=10-x_{2}=9.
Ponto: (9,1).

Passo 5

Verificar quais pontos e segmentos formam a região factível (análise de quem é limite superior e inferior):
As desigualdades podem ser vistas como
x_{2}\le x_{1}-1\quad(\text{reta A}), \qquad x_{2}\le 10-x_{1}\quad(\text{reta B}), \qquad x_{2}\ge 4-\frac{x_{1}}{3}\quad(\text{reta C}).
Ou seja, para cada x_{1} a ordenada x_{2} deve ficar entre a curva inferior x_{2}=4-\dfrac{x_{1}}{3} (C) e a menor das duas curvas superiores x_{2}=x_{1}-1 (A) e x_{2}=10-x_{1} (B).
Determinar intervalo de x_{1} onde existe solução (onde a curva inferior está abaixo da curva superior):
  • Igualando C com A para ver desde onde C passa a ficar abaixo de A:
    4-\frac{x_{1}}{3}=x_{1}-1 \Rightarrow 5=\frac{4}{3}x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{15}{4}.
    Para x_{1}\ge \dfrac{15}{4} tem-se 4-\dfrac{x_{1}}{3}\le x_{1}-1. Então à esquerda de x_{1}=\dfrac{15}{4} não há interseção (C está acima de A), à direita há possibilidade.
  • Igualando C com B:
    4-\frac{x_{1}}{3}=10-x_{1} \Rightarrow -6=-\frac{2}{3}x_{1}\Rightarrow x_{1}=9.
    Para x_{1}\le 9 tem-se 4-\dfrac{x_{1}}{3}\le 10-x_{1}. Para x_{1}>9 não há interseção (C iria ficar acima de B).
Conclusão: os valores de x_{1} que permitem x_{2} satisfazer todas as desigualdades estão entre \dfrac{15}{4} (onde A e C se tocam) e 9 (onde B e C se tocam). No ponto intermédio \dfrac{11}{2} ocorre a troca de qual reta superior é ativa (A e B se encontram em x_{1}=\dfrac{11}{2}).
Portanto a região factível é um polígono convexo limitado pelos pontos:
\left(\dfrac{15}{4},\dfrac{11}{4}\right),\qquad \left(\dfrac{11}{2},\dfrac{9}{2}\right),\qquad (9,1).
Esses três pontos são vértices; ligando-os e sombreando dentro (respeitando as desigualdades e x_{1},x_{2}\ge0) obtém-se a região factível.

Passo 6

Verificação rápida: cada vértice satisfaz todas as desigualdades (são interseções de pares de retas e ficam dentro do semiplano definido pela terceira desigualdade):
  • Em \left(\dfrac{15}{4},\dfrac{11}{4}\right) temos igualdade em A e C e claramente \dfrac{15}{4}+\dfrac{11}{4}=6{,}5\le10 logo satisfaz B.
  • Em \left(\dfrac{11}{2},\dfrac{9}{2}\right) temos igualdade em A e B e verificar C: \dfrac{11}{2}+3\cdot\dfrac{9}{2}= \dfrac{11+27}{2}=19\ge12, logo satisfaz C.
  • Em (9,1) temos igualdade em B e C e verificar A: 9-1=8\ge1, logo satisfaz A.
Portanto a região factível é exatamente o triângulo convexo com esses vértices.

Resposta

A região factível é o triângulo convexo com vértices
\left(\dfrac{15}{4},\dfrac{11}{4}\right),\qquad \left(\dfrac{11}{2},\dfrac{9}{2}\right),\qquad (9,1).

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