Representar no plano cartesiano as regiões factíveis dos seguintes programas lineares:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: representar no plano cartesiano a(s) região(ões) factíveis do programa linear dado (ou seja, desenhar a interseção dos semiplanos definidos pelas restrições).
- Restrições (peguei diretamente do enunciado):
-
Informações úteis para desenhar: cada desigualdade define um semiplano limitado por uma reta; a região factível é a interseção desses semiplanos (e do primeiro quadrante).
Passo 2
Escrever as retas associadas às desigualdades em forma que facilite desenhar (forma reduzida
e interceptos com os eixos):
-
Da reta correspondente a
temos Interceptos: paratemos ponto . Para temos ponto (este último fica fora do primeiro quadrante, mas serve para traçar a reta). -
Da reta correspondente a
temos Interceptos:e . -
Da reta correspondente a
temos Interceptos: paratemos ; para temos .
Agora já dá para traçar no papel cada reta usando dois pontos por reta.
Passo 3
Como escolher o semiplano correto (qual lado da reta corresponde à desigualdade): use teste por substituição (pegar um ponto e testar as desigualdades).
- Teste o ponto
: -
fica falso. Logo o semiplano válido para essa desigualdade é o lado oposto ao que contém a origem. -
fica verdadeiro. Logo o semiplano válido é o que contém a origem. -
fica falso. Logo o semiplano válido é o lado oposto ao que contém a origem.
-
- Além disso,
restringem à primeira metade do plano (primeiro quadrante).
Resumo prático para sombrear ao desenhar:
- Para
sombrear o lado onde (pois a desigualdade original era ). - Para
sombrear o lado onde . - Para
sombrear o lado onde . - Interseção com
.
Passo 4
Calcular os pontos de interseção relevantes entre as retas (esses serão candidatos a vértices da região factível). Resolver sistemas 2×2 por substituição ou soma.
- Interseção entre
e .
Soma das equações:
Então
Ponto:
(ou
).
- Interseção entre
e .
Substituir
na terceira equação:
Então
Ponto:
(ou
).
- Interseção entre
e .
Subtrair a primeira da segunda:
Então
Ponto:
.
Passo 5
Verificar quais pontos e segmentos formam a região factível (análise de quem é limite superior e inferior):
As desigualdades podem ser vistas como
Ou seja, para cada
a ordenada
deve ficar entre a curva inferior
(C) e a menor das duas curvas superiores
(A) e
(B).
Determinar intervalo de
onde existe solução (onde a curva inferior está abaixo da curva superior):
-
Igualando C com A para ver desde onde C passa a ficar abaixo de A:Para
tem-se . Então à esquerda de não há interseção (C está acima de A), à direita há possibilidade. -
Igualando C com B:Para
tem-se . Para não há interseção (C iria ficar acima de B).
Conclusão: os valores de
que permitem
satisfazer todas as desigualdades estão entre
(onde A e C se tocam) e
(onde B e C se tocam). No ponto intermédio
ocorre a troca de qual reta superior é ativa (A e B se encontram em
).
Portanto a região factível é um polígono convexo limitado pelos pontos:
Esses três pontos são vértices; ligando-os e sombreando dentro (respeitando as desigualdades e
) obtém-se a região factível.
Passo 6
Verificação rápida: cada vértice satisfaz todas as desigualdades (são interseções de pares de retas e ficam dentro do semiplano definido pela terceira desigualdade):
- Em
temos igualdade em A e C e claramente logo satisfaz B. - Em
temos igualdade em A e B e verificar C: , logo satisfaz C. - Em
temos igualdade em B e C e verificar A: , logo satisfaz A.
Portanto a região factível é exatamente o triângulo convexo com esses vértices.
Resposta
A região factível é o triângulo convexo com vértices