Determine o posto das seguintes matrizes e diga quais delas tem posto completo: A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\\\ -8 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada A de ordem 3 e pede duas coisas:
O que é o posto e o que significa “posto completo” (explicação didática):
O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. É um inteiro entre 0 e \min(m,n) para uma matriz m\times n.
Para uma matriz quadrada n\times n, “posto completo” significa que o posto é n. Nesse caso a matriz é invertível.
Métodos práticos para encontrar o posto: (i) calcular o determinante (se for matriz quadrada): determinante não nulo implica posto n; (ii) fazer eliminação de Gauss e contar pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
Vou aplicar primeiro o método do determinante (mais direto aqui), e depois faço eliminação de Gauss como verificação e para mostrar o método passo a passo.
Passo 3
Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha (aqui ensino como fazer e o que cada termo significa).
A fórmula de expansão na primeira linha é
Os elementos diagonais dessa forma escalonada são 1, -24 e -\dfrac{31}{24}, todos não nulos. Há 3 pivôs (um em cada linha), logo o posto é 3. Observação numérica: o produto desses pivôs é 1\cdot(-24)\cdot\big(-\dfrac{31}{24}\big)=31, consistente com o determinante calculado antes.]
Resposta
\operatorname{posto}(A)=3 A tem posto completo (é invertível).