Determine o posto das seguintes matrizes e diga quais delas tem posto completo:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\\\ -8 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A de ordem 3 e pede duas coisas:
  • Determinar o posto de A.
  • Dizer se A tem posto completo.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] -8 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}]

Passo 2

O que é o posto e o que significa “posto completo” (explicação didática):
  • O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. É um inteiro entre 0 e \min(m,n) para uma matriz m\times n.
  • Para uma matriz quadrada n\times n, “posto completo” significa que o posto é n. Nesse caso a matriz é invertível.
  • Métodos práticos para encontrar o posto: (i) calcular o determinante (se for matriz quadrada): determinante não nulo implica posto n; (ii) fazer eliminação de Gauss e contar pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
Vou aplicar primeiro o método do determinante (mais direto aqui), e depois faço eliminação de Gauss como verificação e para mostrar o método passo a passo.

Passo 3

Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha (aqui ensino como fazer e o que cada termo significa).
A fórmula de expansão na primeira linha é
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}),
onde M_{1j} é a submatriz obtida removendo a primeira linha e a coluna j.
Os elementos da primeira linha são a_{11}=1, a_{12}=-3, a_{13}=0.
Calculo as menores:
  • Para M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det(M_{11})=0\cdot(-1)-(-1)\cdot 1=1.
  • Para M_{12} (removendo linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\begin{pmatrix}-8 & -1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det(M_{12})=(-8)\cdot(-1)-(-1)\cdot 2=8+2=10.
  • Para M_{13} (removendo linha 1 e coluna 3) não precisamos porque a_{13}=0, então a contribuição será zero.
Agora aplico a fórmula:
\det(A)=1\cdot 1 -(-3)\cdot 10 + 0\cdot(\cdots)=1 + 30 = 31.
Como \det(A)=31\neq 0, isso já nos dá informação importante: A é invertível e, portanto, seu posto é 3 (o máximo possível para uma matriz 3\times3).]

Passo 4

Interpretação teórica do resultado (didática curta):
  • Para uma matriz quadrada 3\times3, determinante diferente de zero implica que as três colunas (e também as três linhas) são linearmente independentes.
  • Logo o posto é 3 e a matriz tem posto completo.

Passo 5

Verificação por eliminação de Gauss (passo a passo numérico) — isso ajuda a entender como contar pivôs na prova.
Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] -8 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
Usamos operações elementares em linhas (essas operações não criam nem perdem independência linear; apenas transformam a matriz para contar pivôs):
  1. Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna usando R_2 \leftarrow R_2 + 8R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_2+8R_1:\\ (-8)+8\cdot1=0,\quad 0+8\cdot(-3)=-24,\quad -1+8\cdot0=-1.
R_3-2R_1:\\\ 2-2\cdot1=0,\quad 1-2\cdot(-3)=7,\quad -1-2\cdot0=-1.
Matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -24 & -1\\[4pt] 0 & 7 & -1 \end{pmatrix}
  1. Segundo pivô está na posição (2,2) com valor -24. Eliminar abaixo usando R_3 \leftarrow R_3 + \dfrac{7}{24}R_2:
\text{nova }R_3:\\\ 0,\quad 7+\dfrac{7}{24}(-24)=7-7=0,\quad -1+\dfrac{7}{24}(-1)=-1-\dfrac{7}{24}=-\dfrac{31}{24}.
Matriz escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -24 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{31}{24} \end{pmatrix}
Os elementos diagonais dessa forma escalonada são 1, -24 e -\dfrac{31}{24}, todos não nulos. Há 3 pivôs (um em cada linha), logo o posto é 3. Observação numérica: o produto desses pivôs é 1\cdot(-24)\cdot\big(-\dfrac{31}{24}\big)=31, consistente com o determinante calculado antes.]

Resposta

\operatorname{posto}(A)=3
A tem posto completo (é invertível).

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