Um jovem estudante para fazer a barba mais eficientemente, resolve comprar um espelho esférica que aumente duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50 cm dele. Determine o tipo de espelho e qual o raio de curvatura este deve ter.

Passo 1

O enunciado diz que precisamos de um espelho esférico que “aumente duas vezes” a imagem do rosto quando o objeto está a 50 cm do espelho. O conteúdo que vamos usar é a equação dos espelhos esféricos
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}
e a definição de aumento linear
m = -\frac{q}{p}\,,
onde p é a distância do objeto, q a distância da imagem (com sinal) e f a distância focal do espelho.

Passo 2

Como queremos “aumentar” a imagem em fator 2 e, na prática de barbear, precisamos de uma imagem virtual e direita, o aumento linear deve ser positivo e vale m=+2. Usando
m = -\frac{q}{p}
temos
2 = -\frac{q}{50\text{ cm}}\
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q = -2 \times 50\text{ cm} = -100\text{ cm}.
O sinal negativo de q indica imagem virtual, típico de espelho côncavo com objeto entre o vértice e o foco.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula dos espelhos esféricos para achar f:
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{50\text{ cm}} + \frac{1}{-100\text{ cm}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{100} = \frac{2-1}{100} = \frac{1}{100}\,\text{cm}^{-1}.
Portanto
f = 100\text{ cm}.

Passo 4

O raio de curvatura R da superfície espelhada é o dobro da distância focal, ou seja
R = 2\,f = 2 \times 100\text{ cm} = 200\text{ cm}.

Resposta

O espelho deve ser côncavo, com raio de curvatura R = 200 cm.

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