Problema 4)(2,0 pontos) Um cilindro isolante muito longo de raio R e uma densidade de cargas dada por:
\rho=\rho_{0}\left(a r-\frac{r^{2}}{b}\right)
onde \mathrm{a}, \mathrm{b} e \rho_{0} são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro.
Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico
a ) em regiões internas( r<R ) e
b) externas ( r>R ).

Passo 1

O enunciado dá um cilindro isolante longo de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\rho_{0}\Bigl(a\,r - \frac{r^{2}}{b}\Bigr),
onde a, b e \rho_{0} são constantes e r é a distância ao eixo.
O objetivo é usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico \vec E(r) (direção radial)
a) no interior ( r<R) e b) no exterior ( r>R).

Passo 2

Para r<R, escolho como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento L.
A carga encerrada é
Q_{\rm int}(r) =\int_{0}^{r}\rho(r')\,\bigl(2\pi r' L\bigr)\,dr' =2\pi\rho_{0}L\int_{0}^{r}\Bigl(a\,r' - \frac{r'^{2}}{b}\Bigr)r'\,dr'.
Dentro da integral temos
\int_{0}^{r}\Bigl(a\,r'^{2}-\frac{r'^{3}}{b}\Bigr)dr' =\frac{a\,r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4b}.
Logo
Q_{\rm int}(r) =2\pi\rho_{0}L\Bigl(\frac{a\,r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4b}\Bigr).

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss
\Phi_E =\oint \vec E\cdot d\vec A =E(r)\,(2\pi r L) =\frac{Q_{\rm int}(r)}{\varepsilon_{0}},
temos
E(r)\,2\pi r L = \frac{2\pi\rho_{0}L}{\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{a\,r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4b}\Bigr).
Cancelando 2\pi L de ambos os lados e dividindo por r, resulta
E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{a\,r}{3}-\frac{r^{2}}{4b}\Bigr),
no sentido radial para fora.

Passo 4

Para r>R, toda a carga do cilindro de raio R está encerrada. Calculamos
Q_{\rm tot} =2\pi\rho_{0}L\int_{0}^{R}\Bigl(a\,r' - \frac{r'^{2}}{b}\Bigr)r'\,dr' =2\pi\rho_{0}L\Bigl(\frac{a\,R^{3}}{3}-\frac{R^{4}}{4b}\Bigr).

Passo 5

Na região externa a Lei de Gauss dá
E(r)\,(2\pi r L) =\frac{Q_{\rm tot}}{\varepsilon_{0}} =\frac{2\pi\rho_{0}L}{\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{a\,R^{3}}{3}-\frac{R^{4}}{4b}\Bigr).
Cancelando 2\pi L e isolando E(r), obtemos
E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}} \;\frac{\displaystyle \frac{a\,R^{3}}{3}-\frac{R^{4}}{4b}}{r},
também radial para fora.

Resposta

a) Para r<R:
\vec E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{a\,r}{3}-\frac{r^{2}}{4b}\Bigr)\,\hat r.
b) Para r>R:
\vec E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}} \;\frac{\displaystyle \frac{a\,R^{3}}{3}-\frac{R^{4}}{4b}}{r}\,\hat r.

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