Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R=3 pol. Calcule a velocidade de entrada uniforme, U, se a distribuição de velocidade através da saída é dada pela equação abaixo e umax =10 pés/s: (FOX 4.31)
u=umax [1-r^2R^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo por onde a água está escoando de maneira constante (regime permanente). O tubo tem um comprimento L e um raio de R = 3 pés. A tarefa é calcular a velocidade de entrada uniforme, U, sabendo que a distribuição de velocidade na saída segue a equação u = umax [1 - r^2R^2], onde umax = 10 pés/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e conservação de massa, garantindo que o fluxo na entrada seja igual ao fluxo na saída.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo volumétrico na entrada. Como a velocidade é uniforme, o fluxo Qentrada é dado por:
Qentrada = U times A
onde A é a área da seção transversal do tubo. A área de um círculo é A = pi R^2.

Passo 3

Substituindo R = 3 pés na fórmula da área:
A = pi (3)^2 = 9pi , pés^2 é
Então, o fluxo na entrada fica:
Qentrada = U times 9pi

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico na saída usando a distribuição de velocidade fornecida:
u(r) = 10 [1 - r^29]
O fluxo na saída Qsaida é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Qsaida = integral0^2pi integral0^3 u(r) , r , dr , dtheta

Passo 5

Resolvendo a integral:
Qsaida = 2pi integral0^3 10 [1 - r^29] r , dr
Simplificando:
Qsaida = 20pi integral0^3 (r - r^39) dr

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^3 (r - r^39) dr = [r^22 - r^436]0^3
Substituindo r = 3:
92 - 8136 = 92 - 94 = 94

Passo 7

Então, o fluxo na saída é:
Qsaida = 20pi times 94 = 45pi , pés^3/s é

Passo 8

Como o fluxo é constante, Qentrada = Qsaida:
U times 9pi = 45pi
Cancelando pi dos dois lados:
U times 9 = 45
Então:
U = 459 = 5 , pés/s é

Resposta

A velocidade de entrada uniforme U é de 5 pés/s.

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