Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento
e raio
pol. Calcule a velocidade de entrada uniforme,
, se a distribuição de velocidade através da saída é dada pela equação abaixo e
pés/s: (FOX 4.31)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo por onde a água está escoando de maneira constante (regime permanente). O tubo tem um comprimento
e um raio de
pés. A tarefa é calcular a velocidade de entrada uniforme,
, sabendo que a distribuição de velocidade na saída segue a equação
, onde
pés/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e conservação de massa, garantindo que o fluxo na entrada seja igual ao fluxo na saída.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo volumétrico na entrada. Como a velocidade é uniforme, o fluxo
é dado por:
onde
é a área da seção transversal do tubo. A área de um círculo é
.
Passo 3
Substituindo
pés na fórmula da área:
Então, o fluxo na entrada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico na saída usando a distribuição de velocidade fornecida:
O fluxo na saída
é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Simplificando:
Passo 6
Calculando a integral:
Substituindo
:
Passo 7
Então, o fluxo na saída é:
Passo 8
Como o fluxo é constante,
:
Cancelando
dos dois lados:
Então:
Resposta
A velocidade de entrada uniforme
é de 5 pés/s.