Julgue as afirmações a seguir, marcando V ou F e justifique.
a) A média da amostra nunca corresponde a uma das observações da amostra.
b) A média da amostra será o valor que ocorre com mais frequência na amostra.
c) O desvio padrão pode ser igual a zero.
d) A mediana sempre corresponde a uma das observações da a amostra.
13. Suponha que você adicione 10 a todas as observações em uma amostra. Como isto modifica a média da amostra? Como isto modifica o desvio padrão?

Passo 1

O enunciado aborda definições de estatística descritiva: média amostral, moda, desvio-padrão e mediana, e depois pergunta o efeito de acrescentar uma constante a todas as observações. Vamos usar as fórmulas e propriedades bem conhecidas desses estatísticos para julgar cada afirmação e responder à segunda parte.

Passo 2

Afirmação (a): “A média da amostra nunca corresponde a uma das observações da amostra.”
Isso é falso. A média amostral é
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
e pode facilmente coincidir com uma observação. Por exemplo, na amostra \{1,2,3\} temos
\bar x = \frac{1+2+3}{3}=2,
que é exatamente uma das observações. Logo, (a) é F.

Passo 3

Afirmação (b): “A média da amostra será o valor que ocorre com mais frequência na amostra.”
Isso confunde média com moda. O valor mais frequente é a moda, não a média. Considere a amostra \{1,1,4\}: a média é
\bar x = \frac{1+1+4}{3} = 2,
mas o valor que ocorre com mais frequência (moda) é 1. Então (b) é F.

Passo 4

Afirmação (c): “O desvio padrão pode ser igual a zero.”
Sim, se todas as observações forem iguais, todos os desvios x_i - \bar x são zero e, por consequência, o desvio-padrão amostral
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2}
também é zero. Portanto, (c) é V.

Passo 5

Afirmação (d): “A mediana sempre corresponde a uma das observações da amostra.”
Isso só vale quando n é ímpar. Se n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais, que pode não coincidir com nenhuma observação. Por exemplo, na amostra \{1,3,5,7\} a mediana é
\frac{3+5}{2}=4,
que não está na amostra. Logo, (d) é F.

Passo 6

Agora, suponha que a cada observação x_i adicionemos 10, gerando x_i' = x_i + 10.
  • A nova média será
\bar x' = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i + 10) = \bar x + 10.
Ou seja, aumenta em 10.
  • O desvio-padrão depende apenas das distâncias em relação à média:
s' = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i' - \bar x')^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar x)^2} = s.
Portanto, o desvio-padrão permanece igual.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
Ao somar 10 a cada observação, a média aumenta em 10 e o desvio-padrão fica inalterado.

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