O trabalho "Morbidity Among Pediatric Motor Vehicle Crash Victims: The Effectiveness of Seat Belts " de Osberg e Discala, American Journal of Public Health, Vol. 82, №. 3, apresenta um estudo realizado com 413 crianças hospitalizadas em consequência de acidentes com veículos. Entre 290 crianças que não estavam usando o cinto de segurança, 50 sofreram ferimentos graves. Entre 123 crianças que estavam usando o cinto, 16 sofreram ferimentos graves. (dados reais)
a) Há evidência suficiente para concluir, ao nível de 5 \% de significância, que a proporção de ferimentos graves é menor quando a criança está usando o cinto de segurança?
b) Calcule o valor p para o teste.
c) Encontre a probabilidade de erro tipo II para uma diferença de 0,05 entre reais proporções.
d) Com base nos resultados, que sugestão você daria para as autoridades competentes?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas amostras independentes de crianças acidentadas em veículos. Naquelas sem cinto n_1=290, houve x_1=50 ferimentos graves; naquelas com cinto n_2=123, houve x_2=16 ferimentos graves. O conteúdo é teste de hipóteses para duas proporções, e vamos precisar: proporções amostrais, estatística Z para duas proporções e conceitos de valor- p e erro tipo II.

Passo 2

Formulamos as hipóteses ao nível de significância \alpha=0,05. Como queremos ver se a proporção de ferimentos graves é menor quando usa cinto, tomamos
H_{0}:p_{1}=p_{2} \quad\text{versus}\quad H_{1}:p_{1}>p_{2},
onde p_{1} é a proporção de ferimentos graves sem cinto e p_{2} com cinto.

Passo 3

Calculamos as proporções amostrais:
\hat p_{1}=\frac{50}{290}\approx0{,}1724, \qquad \hat p_{2}=\frac{16}{123}\approx0{,}1301.
Sob H_{0}, usamos a proporção combinada
\hat p =\frac{x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}} =\frac{50+16}{290+123} =\frac{66}{413}\approx0{,}1598.

Passo 4

A estatística de teste é
Z =\frac{\hat p_{1}-\hat p_{2}}% {\sqrt{\hat p(1-\hat p)\bigl(\tfrac1{n_{1}}+\tfrac1{n_{2}}\bigr)}} =\frac{0{,}1724-0{,}1301}{\sqrt{0{,}1598\cdot0{,}8402\,(1/290+1/123)}} \approx1{,}07.
O valor crítico para \alpha=0{,}05 (unilateral à direita) é z_{0{,}95}=1{,}645. Como 1{,}07<1{,}645, não rejeitamos H_{0}.

Passo 5

O valor- p do teste unilateral é
p\text{-}value =1-\Phi(1{,}07)\approx1-0{,}8578=0{,}1422.

Passo 6

Para erro tipo II \beta sob diferença real \delta=0{,}05 (isto é, p_{1}-p_{2}=0{,}05), assumimos por exemplo p_{2}=0{,}1301 e p_{1}=0{,}1801. A variância sob H_{1} é
\mathrm{SE}_{1} =\sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}} \approx\sqrt{\frac{0{,}1801\cdot0{,}8199}{290}+\frac{0{,}1301\cdot0{,}8699}{123}} \approx0{,}0378.
O limite de rejeição em diferença observada é
D^* =z_{0{,}95}\,\mathrm{SE}_{0} =1{,}645\times0{,}03945\approx0{,}0649,
onde \mathrm{SE}_{0}=0{,}03945 é o desvio sob H_{0}. Então
\beta =\Phi\!\Bigl(\frac{D^*-\delta}{\mathrm{SE}_{1}}\Bigr) =\Phi\!\Bigl(\frac{0{,}0649-0{,}05}{0{,}0378}\Bigr) \approx\Phi(0{,}394)=0{,}653.

Passo 7

Sugestão às autoridades: embora a razão amostral 17{,}2\% vs.\ 13{,}0\% seja favorável ao uso do cinto, o resultado não é estatisticamente significativo a 5\% (p-value \approx0{,}14) e a potência do teste é baixa 1-\beta\approx0{,}35 para \delta=0{,}05. Recomenda-se:
– ampliar a amostra para aumentar o poder do teste;
– continuar a campanha de uso de cinto, pois a tendência é de redução de ferimentos graves.

Resposta

(a) Não há evidência suficiente ao nível de 5\% para concluir que a proporção de ferimentos graves é menor com cinto.
(b) p\text{-}value\approx0{,}142.
(c) Erro tipo II \beta\approx0{,}65 (para \delta=0{,}05).
(d) Sugerir ampliar a amostra para obter maior poder e manter/enfatizar o uso do cinto, dada a tendência de redução de ferimentos graves.

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