3- Julgue as afirmativas a seguir como Verdadeiras (V) ou Falsas (F), com base nos princípios dos circuitos elétricos de corrente contínua.
(V) Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.
(v) A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.
(f) Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue três afirmativas como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). As afirmativas são:
  1. (V) Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.
  2. (v) A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.
  3. (f) Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há circuitos do tipo RC e RL, há uma entrada do tipo degrau (fonte CC ligada em t=0), e pergunta-se sobre comportamento temporal (resposta ao degrau, resposta natural/forçada, comportamento em regime permanente). Não há más informações extras no enunciado; devo avaliar cada afirmação segundo os princípios de circuitos de corrente contínua para circuitos de primeira ordem.

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula bem mastigada): o que é a equação diferencial de um circuito RL e o que significam as soluções.
  • Num circuito série RL com uma fonte de tensão v_s(t) aplicada, a equação que relaciona corrente i(t) é obtida pela lei de Kirchhoff de tensões:
L\,\frac{di}{dt} + R\,i = v_s(t).
Aqui L é a indutância (em henry), R a resistência (em ohm), i(t) a corrente (em ampere) e v_s(t) a tensão da fonte (em volt).
  • Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para i(t). A solução geral dessa equação é composta por duas partes: a solução da homogênea (resposta natural) e uma solução particular (resposta forçada). Vou explicar e mostrar isso com detalhes nos próximos passos.

Passo 3

Resolvendo explicitamente o caso mais comum: degrau de tensão v_s(t)=V_s para t\ge0 (fonte CC aplicada no instante t=0) e condição inicial i(0)=i_0.
Escrevemos a equação:
L\,\frac{di}{dt} + R\,i = V_s.
  1. Obtenção da solução homogênea (resposta natural): consideramos a equação homogênea (colocando V_s=0):
L\,\frac{di_h}{dt} + R\,i_h = 0.
Essa é uma ODE separável; dividindo por L e integrando:
\frac{di_h}{dt} = -\frac{R}{L}\,i_h \quad\Rightarrow\quad i_h(t) = K\,e^{-(R/L)\,t},
onde K é uma constante determinada pela condição inicial. Note que isso é uma função exponencial decrescente, com constante de tempo
\tau = \frac{L}{R}.
Expliquei: \tau é o tempo característico no qual o termo exponencial decai cerca de 1/e do seu valor inicial.
  1. Obtenção da solução particular (resposta forçada): como o lado direito é constante V_s, tentamos uma solução constante i_p = I_p. Substituindo:
L\cdot 0 + R\,I_p = V_s \quad\Rightarrow\quad I_p = \frac{V_s}{R}.
Essa é a corrente em regime permanente (tendente quando t\to\infty).
  1. Solução completa (soma das duas partes):
i(t) = i_p + i_h(t) = \frac{V_s}{R} + K\,e^{-(R/L)\,t}.
Constante K determinada pela condição inicial: i(0)=i_0 implica
i_0 = \frac{V_s}{R} + K \quad\Rightarrow\quad K = i_0 - \frac{V_s}{R}.
Se i_0=0, então
i(t)=\frac{V_s}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\quad\text{com }\tau=\frac{L}{R}.

Passo 4

Fazendo o paralelo para um circuito RC (para ver o padrão e um exemplo concreto de resposta que não é “só exponencial”):
Num circuito série RC com degrau V_s aplicado, a equação para a tensão no capacitor v_C(t) é, após manipulação,
RC\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = V_s.
A solução completa tem a mesma estrutura: resposta natural exponencial mais resposta particular constante. Para condição v_C(0)=0 obtemos a solução clássica
v_C(t)=V_s\left(1 - e^{-t/(RC)}\right).
Observe que v_C(t) é a soma de uma constante V_s (regime permanente) e de um termo exponencial (transiente). Ou seja, a forma total da resposta não é simplesmente “uma única função exponencial” mas uma soma de exponencial com termo constante.

Passo 5

Aplicando isso à Afirmativa 1:
“Afirmativa 1: Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.”
  • Da solução mostrada no Passo 3 e Passo 4, a resposta completa a um degrau típico tem a forma
\text{resposta}(t)=\text{(valor em regime permanente)} + \text{(constante)}\cdot e^{-t/\tau}.
Ou seja, a parte transitória é exponencial, mas a resposta total geralmente é a soma de um termo constante (valor final) e um termo exponencial. Assim, afirmar que a resposta ao degrau é “sempre uma função exponencial” no sentido estrito de que a função inteira é uma única exponencial pura é incorreto — normalmente ela contém também um termo constante. Há casos especiais (por exemplo, se o valor final é zero ou se a entrada é nula) em que a resposta total pode ser proporcional a uma exponencial pura, mas isso não é “sempre”. Portanto a afirmação, lida literalmente com o advérbio “sempre”, é falsa.

Passo 6

Justificando e provando a Afirmativa 2:
“Afirmativa 2: A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.”
  • Esta é uma propriedade geral de equações diferenciais lineares de primeira ordem (e, por extensão, de sistemas lineares). A solução geral da equação linear não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea (resposta natural, aqui exponencial K e^{-t/\tau}) e de uma solução particular da não-homogênea (resposta forçada, que para degrau costuma ser constante). Mostrei exatamente isso no Passo 3 com o circuito RL: i(t)=i_h(t)+i_p.
  • Portanto a afirmação é verdadeira (V).

Passo 7

Analisando a Afirmativa 3:
“Afirmativa 3: Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.”
  • Do resultado do Passo 3, para um circuito RL série com fonte CC V_s e resistência R>0, a corrente tende ao valor em regime permanente
\lim_{t\to\infty} i(t) = \frac{V_s}{R},
que, em geral, não é zero (exceto se V_s=0). Assim a afirmação é falsa se assumimos o circuito RL usual com resistência positiva.
  • Observação importante (para não te deixar com dúvidas): se R=0 (caso ideal sem resistência) e temos um degrau de tensão aplicado a um indutor ideal, então a equação reduz a L\,di/dt = V_s e a corrente cresce linearmente (não tende a zero; tende a \infty quando t\to\infty se V_s\neq0). Esse é um caso idealizado e fisicamente problemático, mas reforça que a tendência não é “tender a zero”. Logo, a afirmação dada é falsa na maioria dos cenários relevantes.

Resposta

(1) F
(2) V
(3) F

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