3- Julgue as afirmativas a seguir como Verdadeiras (V) ou Falsas (F), com base nos princípios dos circuitos elétricos de corrente contínua.
(V) Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.
(v) A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.
(f) Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.
(V) Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.
(v) A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.
(f) Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue três afirmativas como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). As afirmativas são:
- (V) Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.
- (v) A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.
- (f) Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): há circuitos do tipo RC e RL, há uma entrada do tipo degrau (fonte CC ligada em t=0), e pergunta-se sobre comportamento temporal (resposta ao degrau, resposta natural/forçada, comportamento em regime permanente). Não há más informações extras no enunciado; devo avaliar cada afirmação segundo os princípios de circuitos de corrente contínua para circuitos de primeira ordem.
Passo 2
Conceitos essenciais (mini-aula bem mastigada): o que é a equação diferencial de um circuito RL e o que significam as soluções.
- Num circuito série RL com uma fonte de tensão
aplicada, a equação que relaciona corrente é obtida pela lei de Kirchhoff de tensões:
Aqui
é a indutância (em henry),
a resistência (em ohm),
a corrente (em ampere) e
a tensão da fonte (em volt).
- Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. A solução geral dessa equação é composta por duas partes: a solução da homogênea (resposta natural) e uma solução particular (resposta forçada). Vou explicar e mostrar isso com detalhes nos próximos passos.
Passo 3
Resolvendo explicitamente o caso mais comum: degrau de tensão
para
(fonte CC aplicada no instante
) e condição inicial
.
Escrevemos a equação:
- Obtenção da solução homogênea (resposta natural): consideramos a equação homogênea (colocando
):
Essa é uma ODE separável; dividindo por
e integrando:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Note que isso é uma função exponencial decrescente, com constante de tempo
Expliquei:
é o tempo característico no qual o termo exponencial decai cerca de
do seu valor inicial.
- Obtenção da solução particular (resposta forçada): como o lado direito é constante
, tentamos uma solução constante . Substituindo:
Essa é a corrente em regime permanente (tendente quando
).
- Solução completa (soma das duas partes):
Constante
determinada pela condição inicial:
implica
Se
, então
Passo 4
Fazendo o paralelo para um circuito RC (para ver o padrão e um exemplo concreto de resposta que não é “só exponencial”):
Num circuito série RC com degrau
aplicado, a equação para a tensão no capacitor
é, após manipulação,
A solução completa tem a mesma estrutura: resposta natural exponencial mais resposta particular constante. Para condição
obtemos a solução clássica
Observe que
é a soma de uma constante
(regime permanente) e de um termo exponencial (transiente). Ou seja, a forma total da resposta não é simplesmente “uma única função exponencial” mas uma soma de exponencial com termo constante.
Passo 5
Aplicando isso à Afirmativa 1:
“Afirmativa 1: Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.”
“Afirmativa 1: Em circuitos RC e RL, a resposta ao degrau é sempre uma função exponencial.”
- Da solução mostrada no Passo 3 e Passo 4, a resposta completa a um degrau típico tem a forma
Ou seja, a parte transitória é exponencial, mas a resposta total geralmente é a soma de um termo constante (valor final) e um termo exponencial. Assim, afirmar que a resposta ao degrau é “sempre uma função exponencial” no sentido estrito de que a função inteira é uma única exponencial pura é incorreto — normalmente ela contém também um termo constante. Há casos especiais (por exemplo, se o valor final é zero ou se a entrada é nula) em que a resposta total pode ser proporcional a uma exponencial pura, mas isso não é “sempre”. Portanto a afirmação, lida literalmente com o advérbio “sempre”, é falsa.
Passo 6
Justificando e provando a Afirmativa 2:
“Afirmativa 2: A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.”
“Afirmativa 2: A resposta completa de um circuito de primeira ordem é a soma da resposta natural e da resposta forçada.”
- Esta é uma propriedade geral de equações diferenciais lineares de primeira ordem (e, por extensão, de sistemas lineares). A solução geral da equação linear não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea (resposta natural, aqui exponencial
) e de uma solução particular da não-homogênea (resposta forçada, que para degrau costuma ser constante). Mostrei exatamente isso no Passo 3 com o circuito RL: . - Portanto a afirmação é verdadeira (V).
Passo 7
Analisando a Afirmativa 3:
“Afirmativa 3: Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.”
“Afirmativa 3: Após um longo período de tempo, a corrente em um circuito RL com fonte CC indutor ideal tende a zero.”
- Do resultado do Passo 3, para um circuito RL série com fonte CC
e resistência , a corrente tende ao valor em regime permanente
que, em geral, não é zero (exceto se
). Assim a afirmação é falsa se assumimos o circuito RL usual com resistência positiva.
- Observação importante (para não te deixar com dúvidas): se
(caso ideal sem resistência) e temos um degrau de tensão aplicado a um indutor ideal, então a equação reduz a e a corrente cresce linearmente (não tende a zero; tende a quando se ). Esse é um caso idealizado e fisicamente problemático, mas reforça que a tendência não é “tender a zero”. Logo, a afirmação dada é falsa na maioria dos cenários relevantes.