Calcule \alpha, \omega_{0}, s_{1} e s_{2} para um circuito R L C paralelo sem fonte, se (a) R=4 \Omega, L=2,22 \mathrm{H} e C=12,5 \mathrm{mF}; (b) L=1 \mathrm{nH}, C=1 \mathrm{pF} e R é 1 \% do valor requerido para tornar o circuito subamortecido. (c) Calcule a taxa de amortecimento para os circuitos dos itens (a) e (b).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \alpha, \omega_{0}, s_{1} e s_{2} para um circuito RLC paralelo sem fonte em dois casos (a) e (b), e em (c) que eu “Calcule a taxa de amortecimento para os circuitos dos itens (a) e (b)”.
Dados fornecidos:
  • (a) R=4\\ \Omega, L=2{,}22\\ \mathrm{H}, C=12{,}5\\ \mathrm{mF} (ou seja C=12{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{F}).
  • (b) L=1\\ \mathrm{nH} (ou 1\times10^{-9}\\ \mathrm{H}), C=1\\ \mathrm{pF} (ou 1\times10^{-12}\\ \mathrm{F}), e R é 1\% do valor necessário para tornar o circuito subamortecido (vou interpretar isto como: R=0{,}01\cdot R_{\text{crit}}, onde R_{\text{crit}} é o valor que gera o caso limite entre criticamente amortecido e subamortecido).
    Perguntas explícitas que tenho que responder:
  • Para (a) e (b): encontrar \alpha, \omega_{0}, s_{1} e s_{2}.
  • Para (c): calcular a “taxa de amortecimento” dos circuitos dos itens (a) e (b). (Durante a resolução vou explicar as opções de interpretação; apresentarei tanto \alpha (taxa em s^{-1}) quanto a razão adimensional de amortecimento \zeta=\alpha/\omega_{0}.)

Passo 2

Montagem da equação do circuito e definição das grandezas (aulas rápidas e didáticas).
  • Em um circuito RLC paralelo sem fonte, a soma das correntes pelos três ramos é zero: \;i_C+i_R+i_L=0.
  • As correntes são \;i_C=C\,\dfrac{dv}{dt}, \;i_R=\dfrac{v}{R}, e para o indutor \;v=L\,\dfrac{di_L}{dt} e portanto \;i_L=\dfrac{1}{L}\int v\,dt. Somando e derivando para eliminar a integral obtemos a equação diferencial para a tensão v(t):
C\,\dfrac{d^2 v}{dt^2}+\dfrac{1}{R}\,\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{1}{L}\,v=0.
  • Dividindo por C e escrevendo na forma padrão de oscilador de segunda ordem:
\dfrac{d^2 v}{dt^2}+\dfrac{1}{RC}\,\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{1}{LC}\,v=0.
  • A forma padrão canônica é
\dfrac{d^2 v}{dt^2}+2\alpha\,\dfrac{dv}{dt}+\omega_{0}^{2}\,v=0,
onde:
  • \alpha é a taxa de amortecimento (unidade \mathrm{s^{-1}}), que mede quão rápido a resposta decai exponencialmente;
  • \omega_{0} é a frequência natural não amortecida (unidade \mathrm{rad/s}).
    Comparando os coeficientes obtemos as fórmulas essenciais:
2\alpha=\dfrac{1}{RC}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{1}{2RC},
\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
Explicação: \alpha controla a taxa exponencial de decaimento; \omega_{0} é a frequência do oscilador se não houvesse amortecimento.

Passo 3

Raízes da equação característica e classificação do regime.
  • A equação característica é \;s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}=0. As raízes são
s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
  • Interpretação:
    • Se \alpha>\omega_{0} temos duas raízes reais e negativas (sobreamortecido / overdamped).
    • Se \alpha=\omega_{0} temos raiz dupla (criticamente amortecido).
    • Se \alpha<\omega_{0} temos conjugados complexos com parte real negativa (subamortecido / underdamped).
  • A razão adimensional de amortecimento (damping ratio) é
\zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}.
Isto indica o tipo de regime numericamente ( \zeta>1 sobreamortecido, \zeta=1 crítico, \zeta<1 subamortecido).

Passo 4

Cálculos para o item (a): R=4\\ \Omega, L=2{,}22\\ \mathrm{H}, C=12{,}5\\ \mathrm{mF}=12{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{F}.
  • Calcule \alpha:
\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\dfrac{1}{2\cdot 4\cdot 12{,}5\times10^{-3}} =\dfrac{1}{0{,}1}=10\\ \mathrm{s^{-1}}.
Explicação: multipliquei 2\cdot R\cdot C = 8\cdot 12{,}5\times10^{-3}=0{,}1.
  • Calcule \omega_{0}:
\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{2{,}22\cdot 12{,}5\times10^{-3}}} =\dfrac{1}{\sqrt{0{,}02775}}\approx 6{,}0030\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação: L\cdot C=2{,}22\times0{,}0125=0{,}02775. A raiz dessa é \approx 0{,}166532 e o inverso é \approx 6{,}003.
  • Verifique o regime: \alpha=10 e \omega_{0}\approx6{,}003, portanto \alpha>\omega_{0} e o circuito é sobreamortecido.
  • Calcule s_{1} e s_{2}:
\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}=10^{2}-(6{,}0030)^{2}=100-36{,}036036\approx 63{,}963964,
\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\approx\sqrt{63{,}963964}\approx 7{,}997748.
Então
s_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\approx -10+7{,}997748\approx -2{,}00225\\ \mathrm{s^{-1}},
s_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\approx -10-7{,}997748\approx -17{,}99775\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Cálculos para o item (b): L=1\\ \mathrm{nH}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{H}, C=1\\ \mathrm{pF}=1\times10^{-12}\\ \mathrm{F}, e R é 1\% do valor requerido para tornar o circuito subamortecido.
  • Primeiro encontro R_{\text{crit}} (valor que dá \alpha=\omega_{0}). Igualando \alpha=\omega_{0}:
\dfrac{1}{2R_{\text{crit}}C}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{crit}}=\dfrac{1}{2C\omega_{0}}=\dfrac{1}{2C}\sqrt{LC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{L}{C}}.
Explicação: usei \omega_{0}=1/\sqrt{LC} e algebra para isolar R_{\text{crit}}.
  • Calcule \sqrt{L/C}:
\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\sqrt{\dfrac{1\times10^{-9}}{1\times10^{-12}}}=\sqrt{10^{3}}=31{,}6227766\ldots
Então
R_{\text{crit}}=\dfrac{1}{2}\cdot 31{,}6227766\ldots \approx 15{,}8113883\\ \Omega.
  • Como R é 1\% de R_{\text{crit}},
R=0{,}01\,R_{\text{crit}}\approx 0{,}158113883\\ \Omega.
  • Calcule \omega_{0} (independente de R):
\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{1\times10^{-9}\cdot 1\times10^{-12}}} =\dfrac{1}{\sqrt{10^{-21}}}=10^{10{,}5}\approx 3{,}16227766\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcule \alpha com o R dado:
\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\dfrac{1}{2\cdot 0{,}158113883\cdot 1\times10^{-12}} =\dfrac{1}{3{,}16227766\times10^{-13}}\approx 3{,}16227766\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Observação: note que \alpha=100\,\omega_{0} porque R foi escolhido 0{,}01 de R_{\text{crit}} (veja a dedução: se R=0{,}01R_{\text{crit}} então \alpha=(1/2RC)=100\,\omega_{0}). Isso significa amortecimento muito grande (fortemente sobreamortecido).
  • Calcule s_{1} e s_{2} de forma algébrica explorando \alpha=100\omega_{0}:
s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}=\omega_{0}\big(-100\pm\sqrt{100^{2}-1}\big) =\omega_{0}\big(-100\pm\sqrt{9999}\big).
Numéricamente, \sqrt{9999}\approx 99{,}994999875. Assim
s_{1}\approx \omega_{0}(-100+99{,}994999875)\approx -0{,}005000125\\ \omega_{0} \approx -1{,}581239\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}},
s_{2}\approx \omega_{0}(-100-99{,}994999875)\approx -199{,}994999875\\ \omega_{0} \approx -6{,}3243972\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Usei \omega_{0}\approx 3{,}16227766\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s} para obter os valores finais.)

Passo 6

Cálculo da “taxa de amortecimento” pedida em (c). Vou apresentar duas interpretações úteis: a taxa exponencial \alpha (unidade \mathrm{s^{-1}}) e a razão adimensional \zeta=\alpha/\omega_{0}, que diz se é sub/criticamente/sobreamortecido.
  • Para (a): já encontramos \alpha=10\\ \mathrm{s^{-1}} e \omega_{0}\approx 6{,}0030\\ \mathrm{s^{-1}}. Então a razão de amortecimento é
\zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\approx \dfrac{10}{6{,}0030}\approx 1{,}665.
Isto confirma comportamento sobreamortecido ( \zeta>1).
  • Para (b): já encontramos \alpha\approx 3{,}16227766\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}} e \omega_{0}\approx 3{,}16227766\times10^{10}\\ \mathrm{s^{-1}}. Logo
\zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}=100.
Isto significa amortecimento extremamente forte (muito sobreamortecido).

Resposta

(a) \alpha=10\\ \mathrm{s^{-1}},\\ \omega_{0}\approx 6{,}0030\\ \mathrm{rad/s},\\ s_{1}\approx -2{,}00225\\ \mathrm{s^{-1}},\\ s_{2}\approx -17{,}99775\\ \mathrm{s^{-1}}.
(b) \alpha\approx 3{,}16227766\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}},\\ \omega_{0}\approx 3{,}16227766\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s},\\ s_{1}\approx -1{,}581239\times10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}},\\ s_{2}\approx -6{,}3243972\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.
(c) Taxa de amortecimento: para (a) \alpha=10\\ \mathrm{s^{-1}} e \zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\approx 1{,}665; para (b) \alpha\approx 3{,}1623\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}} e \zeta=100.

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