Calcule
e
para um circuito
paralelo sem fonte, se (a)
,
e
; (b)
e
é
do valor requerido para tornar o circuito subamortecido. (c) Calcule a taxa de amortecimento para os circuitos dos itens (a) e (b).
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
,
,
e
para um circuito RLC paralelo sem fonte em dois casos (a) e (b), e em (c) que eu “Calcule a taxa de amortecimento para os circuitos dos itens (a) e (b)”.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- (a)
, , (ou seja ). - (b)
(ou ), (ou ), e é do valor necessário para tornar o circuito subamortecido (vou interpretar isto como: , onde é o valor que gera o caso limite entre criticamente amortecido e subamortecido).
Perguntas explícitas que tenho que responder: - Para (a) e (b): encontrar
, , e . - Para (c): calcular a “taxa de amortecimento” dos circuitos dos itens (a) e (b). (Durante a resolução vou explicar as opções de interpretação; apresentarei tanto
(taxa em s^{-1}) quanto a razão adimensional de amortecimento .)
Passo 2
Montagem da equação do circuito e definição das grandezas (aulas rápidas e didáticas).
- Em um circuito RLC paralelo sem fonte, a soma das correntes pelos três ramos é zero:
. - As correntes são
, , e para o indutor e portanto . Somando e derivando para eliminar a integral obtemos a equação diferencial para a tensão :
- Dividindo por
e escrevendo na forma padrão de oscilador de segunda ordem:
- A forma padrão canônica é
onde:
-
é a taxa de amortecimento (unidade ), que mede quão rápido a resposta decai exponencialmente; -
é a frequência natural não amortecida (unidade ).
Comparando os coeficientes obtemos as fórmulas essenciais:
Explicação:
controla a taxa exponencial de decaimento;
é a frequência do oscilador se não houvesse amortecimento.
Passo 3
Raízes da equação característica e classificação do regime.
- A equação característica é
. As raízes são
- Interpretação:
- Se
temos duas raízes reais e negativas (sobreamortecido / overdamped). - Se
temos raiz dupla (criticamente amortecido). - Se
temos conjugados complexos com parte real negativa (subamortecido / underdamped).
- Se
- A razão adimensional de amortecimento (damping ratio) é
Isto indica o tipo de regime numericamente (
sobreamortecido,
crítico,
subamortecido).
Passo 4
Cálculos para o item (a):
,
,
.
- Calcule
:
Explicação: multipliquei
.
- Calcule
:
Explicação:
. A raiz dessa é
e o inverso é
.
- Verifique o regime:
e , portanto e o circuito é sobreamortecido. - Calcule
e :
Então
Passo 5
Cálculos para o item (b):
,
, e
é
do valor requerido para tornar o circuito subamortecido.
- Primeiro encontro
(valor que dá ). Igualando :
Explicação: usei
e algebra para isolar
.
- Calcule
:
Então
- Como
é de ,
- Calcule
(independente de ):
- Calcule
com o dado:
Observação: note que
porque
foi escolhido
de
(veja a dedução: se
então
). Isso significa amortecimento muito grande (fortemente sobreamortecido).
- Calcule
e de forma algébrica explorando :
Numéricamente,
. Assim
(Usei
para obter os valores finais.)
Passo 6
Cálculo da “taxa de amortecimento” pedida em (c). Vou apresentar duas interpretações úteis: a taxa exponencial
(unidade
) e a razão adimensional
, que diz se é sub/criticamente/sobreamortecido.
- Para (a): já encontramos
e . Então a razão de amortecimento é
Isto confirma comportamento sobreamortecido (
).
- Para (b): já encontramos
e . Logo
Isto significa amortecimento extremamente forte (muito sobreamortecido).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Taxa de amortecimento: para (a) e
; para (b)
e
.
(b)
(c) Taxa de amortecimento: para (a)