Determine uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformaçâo linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x-y, x+z).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Transformação Linear. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) e uma base para a imagem (ou imagem) da transformação linear definida por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, transformação linear, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear. O núcleo de T(x, y, z) = (x - y, x + z) = (0, 0) é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos encontrar todas as soluções do sistema:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações:
x - y = 0 x + z = 0
Da primeira equação, temos . Da segunda equação, .

Passo 4

Substituindo y = x z = -x e (x, y, z) = (x, x, -x) = x cdot (1, 1, -1) , podemos expressar todas as variáveis em termos de :
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem (ou imagem) da transformação A = 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 . A imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
Para isso, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 6

A imagem de a1 = 1 1 , a2 = -1 0 , a3 = 0 1 é gerada pelas colunas da matriz . Então, precisamos encontrar uma base para o espaço coluna de .
As colunas de são:
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Observamos que , então a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras. Portanto, apenas e são necess��rias para gerar a imagem.

Passo 7

Assim, uma base para a imagem de é formada pelos vetores e .

Resposta

A base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .

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