Julgue os itens em certos e errados, justificando os errados. Apresente os cálculos quando necessário.
Um capacitor composto por duas cascas esféricas ocas, uma de raio 15 cm e outra de raio 25 cm , tem capacitância maior do que 1 nF quando preenchido por um dielétrico de constante Ke=21.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um capacitor formado por duas cascas esféricas ocas, com raios de 15 cm e 25 cm. Além disso, ele está preenchido com um dielétrico cuja constante dielétrica é Ke=21. A questão quer saber se a capacitância desse capacitor é maior do que 1 nF. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de capacitância de capacitores esféricos e como a constante dielétrica afeta essa capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância ( C) de um capacitor esférico sem dielétrico é dada pela fórmula:
C = 4pivarepsilon0 r1 r2r2 - r1
onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo, igual a 8,85 times 10^-12 F/m,
  • r1 e r2 são os raios das duas cascas esféricas, com r2 > r1.

Passo 3

Como o capacitor está preenchido com um dielétrico com constante dielétrica Ke=21, a capacitância é aumentada por esse fator. A fórmula ajustada fica:
C = 4pivarepsilon0 Ke r1 r2r2 - r1

Passo 4

Vamos converter os raios de centímetros para metros para manter as unidades consistentes:
  • r1 = 15 cm = 0,15 m
  • r2 = 25 cm = 0,25 m

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 F/m times 21 times 0,15 m times 0,25 m0,25 m - 0,15 m

Passo 6

Calculando o denominador:
0,25 m - 0,15 m = 0,10 m
E o numerador:
0,15 m times 0,25 m = 0,0375 m^2

Passo 7

Agora, substituindo de volta na fórmula:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 times 21 times 0,03750,10
Simplificando a fração:
0,03750,10 = 0,375

Passo 8

Multiplicando todos os termos:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 times 21 times 0,375
Vamos calcular passo a passo:
  1. 4pi approx 12,566
  2. 12,566 times 8,85 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-10
  3. 1,112 times 10^-10 times 21 approx 2,334 times 10^-9
  4. 2,334 times 10^-9 times 0,375 approx 8,75 times 10^-10 F

Passo 9

Convertendo farads para nanofarads (1 F = 10^9 nF):
8,75 times 10^-10 F = 0,875 nF

Resposta

A capacitância do capacitor descrito é de aproximadamente 0,875 nF, o que não é maior do que 1 nF.

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