Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
(i) ( ) O campo elétrico em um ponto P na vizinhança de um plano condutor infinto é maior quanto menor a distância entre P e o condutor.
(ii) ( ) O campo elétrico em um ponto P na vizinhança de um cilindro condutor infinto e externo ao cilindro é maior quanto menor a distância entre P e o condutor.
Considere a seguinte situação: uma esfera condutora, neutra e isolada, de raio R_{0} e com centro no ponto C. A uma distância d>R de C, está fixada uma carga positiva q.
(iii) ( ) Após restabelecido o equilíbrio eletrostático, a força eletrostática resultante sobre a esfera é nula, já que o campo eletrostático em qualquer ponto no interior da esfera é nulo.
(iv) ( ) O fluxo do campo eletrostático criado pelo sistema carga-esfera através de uma superfície esférica de raio infinito centrada na carga é nulo.
(v) ( ) Não há linhas de campo saindo da esfera.
(vi) ( ) O campo eletrostático em C criado apenas pela a distribuição superficial de carga na esfera é nulo, pois a esfera é condutora.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que cada item pergunta e quais informações o enunciado dá, item por item.
(i) Pergunta se: “O campo elétrico em um ponto P na vizinhança de um plano condutor infinito é maior quanto menor a distância entre P e o condutor.”
Informação dada: há um plano condutor infinito; pede relação entre intensidade do campo e distância de P ao plano.
(ii) Pergunta se: “O campo elétrico em um ponto P na vizinhança de um cilindro condutor infinito e externo ao cilindro é maior quanto menor a distância entre P e o condutor.”
Informação dada: há um cilindro condutor infinito; o ponto P está fora do cilindro; pede relação entre intensidade do campo e distância radial r ao eixo/à superfície.
A seguir temos uma situação específica: uma esfera condutora neutra e isolada de raio R_{0} com centro em C. Uma carga positiva q está fixa a uma distância d>R_{0} de C. Com isso vêm os itens:
(iii) Diz que, depois do equilíbrio, a força eletrostática resultante sobre a esfera é nula, justificando que o campo no interior da esfera é nulo.
Dados: esfera condutora neutra isolada de raio R_{0}, carga q fora a distância d>R_{0}.
(iv) Afirma que o fluxo do campo elétrico criado pelo sistema carga–esfera através de uma superfície esférica de raio infinito centrada na carga é nulo.
Dados: superfície esférica centrada na carga com raio tendendo a infinito; quer-se o fluxo do campo do sistema carga+esfera através dela.
(v) Afirma que “não há linhas de campo saindo da esfera.” (ou seja, nenhuma linha de campo parte da superfície da esfera para o espaço).
(vi) Afirma que “o campo elétrico em C criado apenas pela distribuição superficial de carga na esfera é nulo, pois a esfera é condutora.”
Dados: pergunta sobre o campo no centro C devido somente à distribuição de carga induzida na superfície da esfera.
A partir do Passo 2 começo a resolver e justificar cada item.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (curta aula): condutores em equilíbrio eletrostático e Lei de Gauss.
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Isso significa que a soma vetorial dos campos produzidos por todas as cargas (externas e as cargas induzidas na superfície) dá zero em qualquer ponto do volume condutor. Em particular, imediato próximo à superfície a componente tangencial do campo é zero e o campo externo à superfície é perpendicular.
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada vale a carga total dentro dividida por \varepsilon_0:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \Phi é o fluxo, \mathbf{E} o campo, d\mathbf{A} o vetor de área, Q_{\text{int}} a carga total dentro da superfície e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.
Vou aplicar esses conceitos para analisar cada item.

Passo 3

Item (i): análise teórica e contraexemplo.
  • Resultado conhecido (e fácil de obter por Gauss): o campo elétrico produzido por uma folha infinita com densidade superficial de carga \sigma é independente da distância à folha. Pelo método do “cilindro pílula” (gaussiano), para uma folha infinita com carga \sigma a magnitude do campo em cada lado é
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
(apenas para uma folha infinitamente fina e não condutora; para um condutor plano que tem carga apenas na superfície exposta, a expressão fora do condutor pode aparecer com fator diferente dependendo da situação, mas o ponto essencial é que, por simetria planar, E não depende da distância).
  • Intuição física: a distribuição é infinita e uniforme; ao se afastar, a quantidade de carga vista por uma área sólida permanece a mesma, de modo que não há decaimento com a distância.
Conclusão para (i): a afirmação “o campo é maior quanto menor a distância” implica dependência com a distância. Mas para um plano infinito com densidade superficial uniforme o campo não varia com a distância. Portanto a afirmativa é falsa. Um contraexemplo explícito: uma folha infinita com densidade \sigma tem E=\sigma/(2\varepsilon_0) (independente de r), logo não cresce quando r diminui.

Passo 4

Item (ii): campo perto de um cilindro condutor infinito (externo ao cilindro).
  • Considere um cilindro infinito com densidade linear de carga \lambda distribuída uniformemente ao longo do eixo (ou, no caso de um cilindro condutor carregado, a carga total por unidade de comprimento está na superfície e a simetria é cilíndrica). Use um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. Pela simetria, \mathbf{E} aponta radialmente e tem mesma magnitude em toda a superfície lateral. Aplicando Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
  • Interpretação: E(r) decai como 1/r. Logo, se r diminui (ou seja, nos aproximamos do cilindro), E aumenta.
Conclusão para (ii): a afirmativa é verdadeira — para um cilindro condutor infinito e ponto externo, a intensidade do campo cresce quando a distância radial diminui, conforme E\propto 1/r.

Passo 5

Item (iii): esfera condutora neutra isolada, carga q fixa no exterior. Pergunta se a força resultante sobre a esfera é nula sob o argumento de que o campo no interior é nulo.
  • Esclarecendo: é verdade que o campo elétrico no interior do metal é nulo quando o sistema está em equilíbrio. Mas isso não implica que a força resultante sobre todo o condutor seja zero. A razão é que a força sobre a esfera como corpo se deve à interação da carga externa com a distribuição de cargas induzidas na superfície da esfera — ou equivalentemente, à interação entre a distribuição superficial induzida e o campo (total) fora do condutor. Mesmo que dentro do condutor o campo seja zero, isso só diz respeito ao interior do material, não diz que não há forças externas atuando sobre as cargas da superfície.
  • Explicação física simples e didática (modelo dipolar de fácil visualização): a presença de q>0 induz uma distribuição de cargas na superfície da esfera: cargas negativas concentradas na região mais próxima de q e cargas positivas acumuladas do lado oposto, mantendo a esfera neutra. As cargas negativas induzidas ficam mais próximas de q do que as positivas porque a geometria faz isso; o campo entre cargas opostas e q gera uma atração líquida (força de atração, pois a atração pela carga negativa mais próxima é mais intensa que a repulsão pela carga positiva mais distante). Assim a esfera sofre uma força não nula atraindo-a para q.
  • Formal e curta: para um dipolo induzido \mathbf{p} numa região de campo não uniforme, a força é \mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}, que em geral não é zero porque o campo do ponto q varia no espaço. Portanto a afirmação de que a força é nula é falsa.
Conclusão para (iii): a afirmativa é falsa. Contraexemplo/ila: esfera neutra próxima a carga q é atraída por q devido às cargas induzidas (pode-se também demonstrar por método de imagens no caso de esfera condutora ligada à terra; para esfera isolada o efeito qualitativo de atração permanece).

Passo 6

Item (iv): fluxo do campo do sistema carga+esfera através de uma superfície esférica de raio infinito centrada na carga: é nulo?
  • A Lei de Gauss nos dá diretamente: o fluxo através de qualquer superfície fechada é igual à carga total encerrada sobre \varepsilon_0:
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Considere uma superfície esférica de raio grande (tendendo a infinito) centrada na carga q. Essa superfície fechada envolve toda a esfera condutora e a carga q (porque raio é muito grande). A esfera condutora é neutra, então a soma das cargas induzidas na sua superfície é zero. Logo a carga total dentro da superfície grande é simplesmente q. Assim o fluxo através dessa superfície não é nulo, é
\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\neq 0.
Conclusão para (iv): a afirmativa é falsa. O fluxo é \Phi=q/\varepsilon_0.

Passo 7

Item (v): “Não há linhas de campo saindo da esfera.” Análise.
  • Quando a carga q está fora da esfera neutra, a distribuição induzida na superfície tem regiões com cargas negativas (mais próximas a q) e regiões com cargas positivas (no lado oposto). Linhas de campo elétrico partem de cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou vão para o infinito se não houver cargas negativas suficientes). Assim, as porções positivas da superfície produzem linhas de campo que saem da esfera para o exterior; as porções negativas da superfície absorvem linhas que entram na esfera. Logo há sim linhas de campo saindo da superfície onde houver carga superficial positiva induzida.
  • Intuição: a esfera neutra não é uma fonte nula localmente; tem cargas positivas em algumas regiões que emitem linhas de campo. A afirmação de que nenhuma linha sai é, portanto, falsa.
Conclusão para (v): a afirmativa é falsa. Existem linhas de campo saindo da superfície onde há carga positiva induzida.

Passo 8

Item (vi): “O campo elétrico em C criado apenas pela distribuição superficial de carga na esfera é nulo, pois a esfera é condutora.” Análise e explicação.
  • O fato importante: dentro do condutor o campo total é nulo. Isso significa que, em qualquer ponto interior (incluindo o centro C),
\mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_{\text{externa}}+\mathbf{E}_{\text{induzida}}=\mathbf{0},
ou seja, o campo devido às cargas superficiais induzidas mais o campo da carga externa q se cancelam. Mas isso NÃO implica que o campo devido somente às cargas superficiais seja zero; pelo contrário, ele geralmente é igual a -\mathbf{E}_{\text{externa}} em qualquer ponto do interior.
  • No caso concreto: existe uma carga externa q, então \mathbf{E}_{\text{externa}}\text{(C)}\neq 0. Para que a soma dê zero, o campo criado pelas cargas da superfície no ponto C deve ser diferente de zero e igual a -\mathbf{E}_{\text{externa}}\text{(C)}. Logo a afirmação de que o campo em C produzido apenas pela superfície é nulo está errada.
Conclusão para (vi): a afirmativa é falsa. O campo no centro devido somente à distribuição superficial é, em geral, diferente de zero (ele cancela o campo externo para que o total interno seja zero).

Resposta

(i) F
(ii) V
(iii) F
(iv) F
(v) F
(vi) F

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