Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
Considere que duas partículas carregadas de mesmo sinal se movem paralelamente com velocidades de módulo v \ll c na ausência de campo eletromagnético externo.
( ) A força de Lorentz resultante entre essas duas partículas é sempre repulsiva.

Passo 1

O enunciado apresenta duas partículas com cargas de mesmo sinal, movendo-se paralelamente com velocidades de módulo \,v\ll c, sem a influência de um campo externo. A questão central é: a força de Lorentz resultante entre essas duas partículas é sempre repulsiva?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As partículas possuem cargas de mesmo sinal (considerando q>0 para simplificar).
  • Elas se movem paralelamente na mesma direção e sentido, com velocidade \,v\ll c.
  • Não há campos externos; cada partícula interage com o campo gerado pela outra.
O próximo passo consiste em calcular/avaliar a força resultante sobre uma partícula devido à outra e determinar se essa força é sempre repulsiva.

Passo 2

A força sobre uma carga q que se move com velocidade \mathbf{v} em um campo elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} é dada pela força de Lorentz:
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Aqui, \mathbf{F} representa a força sobre a carga, \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da carga e \mathbf{B} é o campo magnético no ponto da carga. Aplicaremos essa fórmula à segunda partícula, considerando que \mathbf{E} e \mathbf{B} são produzidos pela primeira partícula.

Passo 3

Para velocidades pequenas ( v\ll c), o campo elétrico produzido por uma carga pontual q pode ser aproximado pelo campo de Coulomb estático:
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde r é a distância entre as partículas e \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta da carga que gera o campo para o ponto onde o campo é avaliado.
O campo magnético produzido por uma carga que se move com velocidade \mathbf{v} (na ordem v/c pequeno) pode ser aproximado por:
\mathbf{B}\approx\frac{1}{c^2}\,\mathbf{v}\times\mathbf{E},
ou, equivalentemente (usando \mu_0=1/(\varepsilon_0 c^2)):
\mathbf{B}\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\,q\,\frac{\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
As constantes são: \varepsilon_0 (permissividade do vácuo), \mu_0 (permeabilidade do vácuo) e c (velocidade da luz), com \,c^2=1/(\varepsilon_0\mu_0).

Passo 4

Para simplificar os cálculos de direções e módulos, adotamos um sistema de eixos. As partículas se movem na direção \hat{\mathbf{z}} com velocidade \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{z}} e a segunda partícula está deslocada da primeira na direção \hat{\mathbf{x}} por uma distância r. Assim:
  • O campo elétrico produzido pela primeira partícula, no local da segunda, é:
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{x}},
apontando para \hat{\mathbf{x}} (repulsivo, empurrando a segunda no sentido +x).
  • Usando \mathbf{B}\approx\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\mathbf{E}:
\mathbf{B}\approx\frac{1}{c^2}\,(v\,\hat{\mathbf{z}})\times\Bigl(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{x}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qv}{c^2 r^2}\,\bigl(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}\bigr).
Como \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}, \mathbf{B} está na direção \hat{\mathbf{y}}.
  • A força magnética sobre a segunda carga é \mathbf{F}_{\text{mag}}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}. Calculando as direções:
\mathbf{F}_{\text{mag}}=q\,(v\,\hat{\mathbf{z}})\times\Bigl(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qv}{c^2 r^2}\,\hat{\mathbf{y}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2 v^2}{c^2 r^2}\,(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}).
Como \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{x}}, a força magnética aponta no sentido -\hat{\mathbf{x}}, ou seja, atrai (oposta à força elétrica).
  • Agora, os módulos: a força elétrica (Coulomb) tem módulo
F_{\text{el}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}.
A força magnética tem módulo
F_{\text{mag}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2 v^2}{c^2 r^2}=F_{\text{el}}\frac{v^2}{c^2}.
Portanto, a força resultante (no eixo \hat{\mathbf{x}}) é
\mathbf{F}_{\text{res}}=\bigl(F_{\text{el}}-F_{\text{mag}}\bigr)\hat{\mathbf{x}} =F_{\text{el}}\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)\hat{\mathbf{x}}.

Passo 5

Como \,v<c, temos 1-\dfrac{v^2}{c^2}>0. Portanto, a componente na direção de separação é positiva (repulsão), indicando que a força resultante é repulsiva. No caso do enunciado, com \,v\ll c, a atração magnética é muito menor que a repulsão elétrica e não consegue inverter o sinal da força.
Em um referencial que se move com as partículas, elas estão em repouso e sentem apenas repulsão elétrica. Transformando de volta para o laboratório, a força perpendicular mantém o mesmo sentido e é reduzida por fatores relativísticos, permanecendo repulsiva para v<c.

Passo 6

Em resumo: cargas iguais se repelem eletricamente; cargas em movimento geram correntes que se atraem magneticamente; para cargas iguais movendo-se paralelamente com velocidades inferiores a c, a repulsão elétrica sempre supera a atração magnética. A força líquida tende a zero apenas no limite formal v\to c, sem inversão do sinal para v<c.

Resposta

Verdadeiro.

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