Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
Considere que duas partículas carregadas de mesmo sinal se movem paralelamente com velocidades de módulo v \ll c na ausência de campo eletromagnético externo.
( ) A força magnética entre essas partículas é atrativa.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas com cargas de mesmo sinal, movendo-se paralelamente com velocidades de mesmo sentido e módulo v, com v\ll c, sem campos externos. A pergunta é se a força magnética entre essas partículas é atrativa. Informações relevantes: as partículas têm carga q (positiva, por exemplo), movem-se com mesma velocidade \mathbf{v} paralela, estão separadas por uma distância transversal r (vetor \mathbf{r} que liga a carga fonte à outra), e a condição v\ll c permite aproximações não-relativísticas. Neste passo apenas identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples para visualizar e calcular. Coloco a partícula 2 (a fonte do campo) na origem e a partícula 1 no ponto \mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf{x}}. Ambas se movem no sentido positivo do eixo z com velocidade \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{z}}. Vou considerar cargas idênticas q e positivo para fixar os sinais; o resultado para cargas do mesmo sinal depende só de q^2 e não do sinal individual.

Passo 3

Vou usar a expressão do campo magnético gerado por uma carga pontual em movimento a velocidade constante, válida para v\ll c (é o limite não-relativístico das expressões de Liénard–Wiechert). A fórmula é
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
Explicando: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, q é a carga que gera o campo, \mathbf{v} é a velocidade da carga fonte, \mathbf{r} é o vetor que vai da fonte até o ponto onde avalio o campo, r=\|\mathbf{r}\| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r. Essa fórmula tem origem na versão estacionária do Biot–Savart aplicada a uma carga em movimento lento; mostra que \mathbf{B} é proporcional a q e a v e decai como 1/r^2.

Passo 4

Calculo o campo magnético da partícula 2 no local da partícula 1. Na configuração escolhid a, \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{z}} e \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}. Então
\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,(v\,\hat{\mathbf{z}})\times\hat{\mathbf{x}}}{r^2}.
Faço o produto vetorial: \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}. Portanto
\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,v}{r^2}\,\hat{\mathbf{y}}.
Isso significa que o campo magnético produzido pela partícula 2 em 1 aponta no sentido +\hat{\mathbf{y}}.

Passo 5

Agora a força magnética sobre a partícula 1 é dada pela lei de Lorentz (parte magnética)
\mathbf{F}_m=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}_2.
Substituindo \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{z}} e \mathbf{B}_2 do passo anterior,
\mathbf{F}_m = q\,(v\,\hat{\mathbf{z}})\times\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,v}{r^2}\,\hat{\mathbf{y}}\right) = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q^2 v^2}{r^2}\,(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}).
Calculando o produto vetorial: \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{x}}. Assim
\mathbf{F}_m = -\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q^2 v^2}{r^2}\,\hat{\mathbf{x}}.
O vetor -\hat{\mathbf{x}} aponta da partícula 1 em direção à partícula 2 (que está em x=0), isto é, a força magnética é dirigida para a outra carga — ou seja, é atrativa. Observação sobre sinais: se eu tivesse escolhido cargas negativas, o produto q^2 continua positivo e a direção relativa (atração) entre cargas com velocidades iguais permanece a mesma. Portanto, para cargas do mesmo sinal e velocidades paralelas no mesmo sentido, a força magnética entre elas é atrativa.

Passo 6

Faço uma comparação de magnitudes com a força elétrica (Coulomb) para ver a importância relativa. A força elétrica de repulsão entre as cargas é
F_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{r^2}.
Usando a relação \mu_0\varepsilon_0=\dfrac{1}{c^2} podemos escrever a magnitude da força magnética obtida no passo 5 como
F_m=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q^2 v^2}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{r^2}\,\frac{v^2}{c^2}=F_e\frac{v^2}{c^2}.
Como \dfrac{v^2}{c^2}\ll 1 (dado v\ll c), a força magnética é muito menor que a força elétrica. Conclusão física: embora a contribuição magnética seja atrativa, ela apenas reduz um pouco a repulsão elétrica; o resultado total continua sendo repulsão.

Passo 7

Resumo didático final: a força magnética entre duas cargas de mesmo sinal movendo-se paralelamente no mesmo sentido é de fato atrativa (verdadeiro). Isso decorre da direção do campo magnético gerado por uma carga em movimento e da forma do produto vetorial na força de Lorentz. Porém, para v\ll c essa força é de ordem \left(v/c\right)^2 em relação à força elétrica e, portanto, muito menor; a interação total permanece repulsiva.

Resposta

Verdadeiro.

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