Questão 3: Um objeto é colocado sobre o eixo de uma lente delgada e a magnificação da imagem é medida
. 0 objeto é então afastado para outro ponto sobre o eixo da lente, a uma distância
do primeiro ponto. A nova magnificação da imagem é
, com
. Escreva uma expressão para a distância focal da lente em termos de
e d.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar cada coisa claramente):
- A lente é delgada e tem distância focal
(isso é o que queremos achar). - Na primeira posição do objeto, as distâncias objeto e imagem são
e , e a ampliação medida é . - O objeto é então deslocado ao longo do eixo da lente por uma distância
para uma nova posição; a nova distância objeto é . Como o enunciado diz que o objeto foi afastado, tomamos
- Na segunda posição a ampliação é
, com . - O pedido: escrever uma expressão para a distância focal
em termos de , e .
Passo 2
Vamos revisar e fixar as fórmulas básicas e as convenções (explicando o que é cada coisa, devagar):
- Chamamos de
a distância do objeto até a lente (positiva se o objeto está na frente da lente, como usual), e de a distância da imagem até a lente (positiva para imagens reais do outro lado da lente). - A equação da lente delgada (fórmula do que se costuma usar em prova) é
Aqui
é a distância focal da lente,
é a distância objeto e
é a distância imagem.
- A ampliação linear (razão entre tamanho da imagem e tamanho do objeto) é dada por
Explanação dessa fórmula:
é negativo quando a imagem está invertida (que é o caso típico em imagens reais formadas por lentes convergentes); o módulo
é a razão dos tamanhos.
Passo 3
Escrever as distâncias imagem em função de
e
. Da definição de ampliação temos, para cada posição do objeto,
Aplicando isso para as duas posições:
Passo 4
Expressar
em função de
e
. Substituo
na equação da lente:
Invertendo, obtemos uma forma útil:
Essa fórmula vale para qualquer par
que descreva uma posição objeto/imagem com a convenção adotada.
Passo 5
Aplicar a fórmula do passo anterior às duas posições do objeto:
Passo 6
Como as duas expressões valem para a mesma lente, elas são iguais. Igualo-as e uso
:
Agora fazemos a álgebra passo a passo. Multiplicando ambos os lados pelos denominadores:
Expandindo o lado direito:
Cancelam-se os termos
nos dois lados, sobrando
Rearranjando os termos com
:
Logo
Passo 7
Substituo
em
e simplifico:
Os fatores
cancelam, ficando a expressão final simples:
Observação rápida de consistência: como
e
, o produto
. Como
temos
. Assim
, como esperado para uma lente convergente que forma imagens reais invertidas.