Questão 3: Um objeto é colocado sobre o eixo de uma lente delgada e a magnificação da imagem é medida m_{1}<0. 0 objeto é então afastado para outro ponto sobre o eixo da lente, a uma distância d do primeiro ponto. A nova magnificação da imagem é m_{2}<0, com \left|m_{1}\right|>\left|m_{2}\right|. Escreva uma expressão para a distância focal da lente em termos de m_{1}, m_{2} e d.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar cada coisa claramente):
  • A lente é delgada e tem distância focal f (isso é o que queremos achar).
  • Na primeira posição do objeto, as distâncias objeto e imagem são s_1 e s_1', e a ampliação medida é m_1<0.
  • O objeto é então deslocado ao longo do eixo da lente por uma distância d para uma nova posição; a nova distância objeto é s_2. Como o enunciado diz que o objeto foi afastado, tomamos
s_2 = s_1 + d.
  • Na segunda posição a ampliação é m_2<0, com \lvert m_1\rvert>\lvert m_2\rvert.
  • O pedido: escrever uma expressão para a distância focal f em termos de m_1, m_2 e d.

Passo 2

Vamos revisar e fixar as fórmulas básicas e as convenções (explicando o que é cada coisa, devagar):
  • Chamamos de s a distância do objeto até a lente (positiva se o objeto está na frente da lente, como usual), e de s' a distância da imagem até a lente (positiva para imagens reais do outro lado da lente).
  • A equação da lente delgada (fórmula do que se costuma usar em prova) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}.
Aqui \,f é a distância focal da lente, \,s é a distância objeto e \,s' é a distância imagem.
  • A ampliação linear (razão entre tamanho da imagem e tamanho do objeto) é dada por
m=-\frac{s'}{s}.
Explanação dessa fórmula: \,m é negativo quando a imagem está invertida (que é o caso típico em imagens reais formadas por lentes convergentes); o módulo \lvert m\rvert é a razão dos tamanhos.

Passo 3

Escrever as distâncias imagem em função de s e m. Da definição de ampliação temos, para cada posição do objeto,
s'=-m\,s.
Aplicando isso para as duas posições:
s_1' = -m_1 s_1,\qquad s_2' = -m_2 s_2.

Passo 4

Expressar f em função de m e s. Substituo s'=-m s na equação da lente:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{s}-\frac{1}{m s}=\frac{m-1}{m s}.
Invertendo, obtemos uma forma útil:
f=\frac{m s}{m-1}.
Essa fórmula vale para qualquer par (m,s) que descreva uma posição objeto/imagem com a convenção adotada.

Passo 5

Aplicar a fórmula do passo anterior às duas posições do objeto:
f=\frac{m_1 s_1}{m_1-1} \qquad\text{e}\qquad f=\frac{m_2 s_2}{m_2-1}.

Passo 6

Como as duas expressões valem para a mesma lente, elas são iguais. Igualo-as e uso s_2=s_1+d:
\frac{m_1 s_1}{m_1-1}=\frac{m_2 (s_1+d)}{m_2-1}.
Agora fazemos a álgebra passo a passo. Multiplicando ambos os lados pelos denominadores:
m_1 s_1 (m_2-1)=m_2 (s_1+d)(m_1-1).
Expandindo o lado direito:
m_1 m_2 s_1 - m_1 s_1 = m_2 m_1 s_1 - m_2 s_1 + m_2 d (m_1-1).
Cancelam-se os termos m_1 m_2 s_1 nos dois lados, sobrando
- m_1 s_1 = - m_2 s_1 + m_2 d (m_1-1).
Rearranjando os termos com s_1:
s_1 (m_2 - m_1) = m_2 d (m_1-1).
Logo
s_1 = \frac{m_2 d (m_1-1)}{m_2 - m_1}.

Passo 7

Substituo s_1 em f=\dfrac{m_1 s_1}{m_1-1} e simplifico:
f=\frac{m_1}{m_1-1}\cdot \frac{m_2 d (m_1-1)}{m_2 - m_1}.
Os fatores (m_1-1) cancelam, ficando a expressão final simples:
f=\frac{m_1 m_2 d}{m_2 - m_1}.
Observação rápida de consistência: como m_1<0 e m_2<0, o produto m_1 m_2>0. Como \lvert m_1\rvert>\lvert m_2\rvert temos m_2-m_1>0. Assim f>0, como esperado para uma lente convergente que forma imagens reais invertidas.

Resposta

f=\frac{m_1 m_2 d}{m_2 - m_1}

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