Questão 1: Perguntas simples. Use
e
.
Luz monocromática com comprimento de onda
passa por duas fendas suspensas no ar, e um padrão de interferência é observado. A primeira franja escura ocorre a uma separação
da franja clara central. Qual a nova separação da franja escura quando o aparato inteiro é imerso em um meio com índice de refração
?
Luz monocromática com comprimento de onda
Passo 1
O enunciado dá uma luz monocromática no ar com comprimento de onda
que passa por duas fendas e forma um padrão de interferência. A primeira franja escura aparece a uma separação
da franja clara central. O aparelho é então imerso num meio com índice de refração
e pede-se qual será a nova separação da primeira franja escura. Informações relevantes fornecidas:
- comprimento de onda no ar:
; - posição da primeira franja escura (no ar):
; - índice de refração do meio novo:
; - constantes fornecidas (não serão necessárias para o cálculo):
e .
Passo 2
Entender o que significa “primeira franja escura” numa experiência de dupla fenda. Para fendas separadas por uma distância
e tela a uma distância
muito maior que
, o deslocamento vertical
de uma franja na tela está ligado à diferença de trajetória entre os raios vindos das duas fendas. Essa diferença de caminho vale, em geral,
onde
é o ângulo medido a partir da perpendicular ao plano das fendas até o ponto considerado na tela. Aqui
e
são constantes do aparato (não mudam ao imergir).
Passo 3
Condições de interferência (explicação didática):
- Franja brilhante (máximo construtivo): a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de
,
- Franja escura (mínimo destrutivo): a diferença de caminho é um valor meio-ônibus, isto é,
No nosso caso a “primeira franja escura” corresponde a
, logo a condição é
.
Expliquei:
é o comprimento de onda no meio em que a luz está propagando (no ar, inicialmente).
Passo 4
Relacionar
com a posição
na tela usando aproximação de pequenos ângulos (válida quando
e
):
Para a primeira franja escura,
. Assim, usando
e a condição de mínimo,
Passo 5
Isolar a relação entre
e os parâmetros do aparato:
Esta é a expressão que dá a posição da primeira franja escura no ar em função de
,
e
. Repare que
é proporcional ao comprimento de onda
.
Passo 6
Agora considere o aparelho imerso num meio com índice de refração
. Conceito importante e didático: a frequência
da luz não muda ao entrar no meio, mas a velocidade da onda fica
onde
é a velocidade da luz no vácuo. Como
, o comprimento de onda no meio vale
Expliquei:
dado inicialmente era no ar; dentro do meio esse comprimento de onda diminui por um fator
.
Passo 7
Substituir
na fórmula da posição da franja. A nova separação da primeira franja escura, que chamo de
, será
Mas pela equação do Passo 5 temos
. Portanto
Passo 8
Interpretação física e exemplo numérico (para dar confiança): imergir o aparato num meio com índice
reduz o comprimento de onda e, portanto, todas as separações de franjas diminuem pelo mesmo fator
. Por exemplo, se
, então
— a primeira franja escura aproxima-se da central.