Questão 1: Perguntas simples. Use c=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mu_{0}=4 \pi \times 10^{7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
Luz monocromática com comprimento de onda \lambda passa por duas fendas suspensas no ar, e um padrão de interferência é observado. A primeira franja escura ocorre a uma separação \ell da franja clara central. Qual a nova separação da franja escura quando o aparato inteiro é imerso em um meio com índice de refração n ?

Passo 1

O enunciado dá uma luz monocromática no ar com comprimento de onda \lambda que passa por duas fendas e forma um padrão de interferência. A primeira franja escura aparece a uma separação \ell da franja clara central. O aparelho é então imerso num meio com índice de refração n e pede-se qual será a nova separação da primeira franja escura. Informações relevantes fornecidas:
  • comprimento de onda no ar: \lambda;
  • posição da primeira franja escura (no ar): \ell;
  • índice de refração do meio novo: n;
  • constantes fornecidas (não serão necessárias para o cálculo): c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 2

Entender o que significa “primeira franja escura” numa experiência de dupla fenda. Para fendas separadas por uma distância d e tela a uma distância D muito maior que d, o deslocamento vertical y de uma franja na tela está ligado à diferença de trajetória entre os raios vindos das duas fendas. Essa diferença de caminho vale, em geral,
\Delta = d\sin\theta,
onde \theta é o ângulo medido a partir da perpendicular ao plano das fendas até o ponto considerado na tela. Aqui d e D são constantes do aparato (não mudam ao imergir).

Passo 3

Condições de interferência (explicação didática):
  • Franja brilhante (máximo construtivo): a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de \lambda,
\Delta = m\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
  • Franja escura (mínimo destrutivo): a diferença de caminho é um valor meio-ônibus, isto é,
\Delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
No nosso caso a “primeira franja escura” corresponde a m=0, logo a condição é \Delta=\tfrac{1}{2}\lambda.
Expliquei: \lambda é o comprimento de onda no meio em que a luz está propagando (no ar, inicialmente).

Passo 4

Relacionar \theta com a posição \ell na tela usando aproximação de pequenos ângulos (válida quando D\gg d e \ell \ll D):
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{D}.
Para a primeira franja escura, y=\ell. Assim, usando \Delta=d\sin\theta e a condição de mínimo,
d\frac{\ell}{D} \approx \frac{1}{2}\lambda.

Passo 5

Isolar a relação entre \ell e os parâmetros do aparato:
\ell \approx \frac{\lambda D}{2d}.
Esta é a expressão que dá a posição da primeira franja escura no ar em função de \lambda, D e d. Repare que \ell é proporcional ao comprimento de onda \lambda.

Passo 6

Agora considere o aparelho imerso num meio com índice de refração n. Conceito importante e didático: a frequência \nu da luz não muda ao entrar no meio, mas a velocidade da onda fica
v=\frac{c}{n},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Como \lambda = v/\nu, o comprimento de onda no meio vale
\lambda_{\text{meio}}=\frac{\lambda}{n}.
Expliquei: \lambda dado inicialmente era no ar; dentro do meio esse comprimento de onda diminui por um fator n.

Passo 7

Substituir \lambda_{\text{meio}} na fórmula da posição da franja. A nova separação da primeira franja escura, que chamo de \ell', será
\ell' \approx \frac{\lambda_{\text{meio}} D}{2d} = \frac{\lambda D}{2d}\cdot\frac{1}{n}.
Mas pela equação do Passo 5 temos \ell=\dfrac{\lambda D}{2d}. Portanto
\ell'=\frac{\ell}{n}.

Passo 8

Interpretação física e exemplo numérico (para dar confiança): imergir o aparato num meio com índice n>1 reduz o comprimento de onda e, portanto, todas as separações de franjas diminuem pelo mesmo fator n. Por exemplo, se n=1{,}5, então \ell'=\ell/1{,}5\approx0{,}67\ell — a primeira franja escura aproxima-se da central.

Resposta

\displaystyle \ell'=\frac{\ell}{n}

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