Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
( ) Ao contrário da lei de Ampère, que só é válida em situações com simetria, a lei de Biot-Savart é sempre válida.
( ) Ao contrário da lei de Ampère, que só é válida em situações com simetria, a lei de Biot-Savart é sempre válida.
Passo 1
Enunciado a julgar: “Ao contrário da lei de Ampère, que só é válida em situações com simetria, a lei de Biot–Savart é sempre válida.”\n
O que o item pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. Não há outros dados no enunciado.
O que o item pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. Não há outros dados no enunciado.
Passo 2
O que é a lei de Biot–Savart (forma usual em magnetostática) e suas hipóteses.\n
A lei de Biot–Savart para uma distribuição de corrente volumétrica é
A lei de Biot–Savart para uma distribuição de corrente volumétrica é
Expliquei cada símbolo:
é o campo magnético no ponto
;
é a permeabilidade do vácuo;
é a densidade de corrente no ponto fonte
; o vetor
aponta de
(fonte) para
(ponto onde avaliamos o campo); o produto vetorial
dá a direção do campo magnético; a integral soma contribuição de todas as partes da corrente. \n
Hipótese crucial: essa forma da lei de Biot–Savart é válida sob as hipóteses da magnetostática, ou seja, correntes constantes no tempo (corrente “estacionária”) e campos independentes do tempo. Se as correntes variam no tempo, as contribuições têm que considerar tempos retardados (efeito da velocidade finita da luz) e a expressão acima NÃO é correta; a forma correta em geral envolve potenciais retardados / equações de Jefimenko.
Hipótese crucial: essa forma da lei de Biot–Savart é válida sob as hipóteses da magnetostática, ou seja, correntes constantes no tempo (corrente “estacionária”) e campos independentes do tempo. Se as correntes variam no tempo, as contribuições têm que considerar tempos retardados (efeito da velocidade finita da luz) e a expressão acima NÃO é correta; a forma correta em geral envolve potenciais retardados / equações de Jefimenko.
Passo 3
O que é (a) lei de Ampère original e (b) a correção de Maxwell; quando elas valem.\n
Forma integral (original) de Ampère, em magnetostática:
Forma integral (original) de Ampère, em magnetostática:
onde
é a corrente total atravessando uma superfície qualquer cujo contorno é
. Em forma diferencial (magnetostática):
Estas formas são válidas em magnetostática (correntes constantes). Maxwell percebeu que, para campos variando no tempo (por exemplo capacitor carregando), essa forma integral gera contradições; a correção é a inclusão da corrente de deslocamento
. A forma completa (Lei de Ampère–Maxwell) em forma diferencial é
e em forma integral
onde
é o fluxo do campo elétrico através da superfície limitada por
. Essa forma (com o termo de deslocamento) é geral e válida mesmo com campos variando no tempo.
Passo 4
Esclarecer a confusão entre “válida” e “útil para cálculo”.\n
- A afirmação do enunciado mistura duas coisas diferentes: (i) validade teórica da lei e (ii) facilidade de uso para calcular
.\n - A lei de Ampère (no sentido integral original, sem termo de deslocamento) é teoricamente válida somente em magnetostática — mas a equação geral de Maxwell (Ampère–Maxwell) é válida sempre. Além disso, para usar Ampère (mesmo a forma correta) para calcular explicitamente
de maneira simples, normalmente precisamos de simetria (ex.: fio longo, solenoide ideal, plano infinito), porque é preciso avaliar a integral e extrair . Assim: Ampère é uma lei (forma completa) geral; a forma simples sem deslocamento é limitada a casos estacionários; e usar a lei para obter de forma prática pede simetria.\n - A lei de Biot–Savart (na sua forma magnetostática dada no Passo 2) é formalmente válida para qualquer geometria desde que as correntes sejam estacionárias; não exige simetria para ser válida — mas exige estacionariedade. Logo, não é “sempre válida” no sentido absoluto: falha quando as correntes e campos dependem do tempo (onde é necessário usar as expressões retardadas/Jefimenko).
Passo 5
Exemplos para firmar o entendimento (mais prático):\n
- Exemplo 1 (magnetostática): fio retilíneo infinito com corrente constante. Tanto Biot–Savart quanto Ampère (sem termo de deslocamento) dão o mesmo resultado e são válidos. Aqui Ampère é particularmente conveniente devido à simetria.\n
- Exemplo 2 (correntes variando no tempo / capacitor carregando): se uma corrente varia no tempo, a forma simples de Biot–Savart não dá o campo correto — você precisa da versão com retardos (ou das equações de Jefimenko). Similarmente, usar Ampère sem o termo de deslocamento leva a contradição (paradoxo da corrente no capacitor). A forma de Ampère com o termo de deslocamento resolve o problema.\n
Portanto ambas as leis têm domínios de validade: as formas simples e usuais (Biot–Savart magnetostático e Ampère sem deslocamento) são válidas em situações estacionárias; a versão geral de Ampère (Ampère–Maxwell) é sempre válida; a forma geral equivalente para Biot–Savart requer considerar retardos.
Passo 6
Conclusão lógica sobre a afirmação do enunciado.\n
A frase “a lei de Biot–Savart é sempre válida” está incorreta porque a expressão usual de Biot–Savart pressupõe correntes estacionárias — não é válida para correntes e campos variando no tempo, salvo se você substituir por sua forma retarded (mais geral). Além disso a afirmação coloca Ampère como “só válida em situações com simetria”, o que é enganoso: Ampère (na forma completa de Maxwell) é uma lei geral; o que exige simetria é apenas o uso prático de Ampère para calcular facilmente. Portanto a afirmação do enunciado é falsa.
A frase “a lei de Biot–Savart é sempre válida” está incorreta porque a expressão usual de Biot–Savart pressupõe correntes estacionárias — não é válida para correntes e campos variando no tempo, salvo se você substituir por sua forma retarded (mais geral). Além disso a afirmação coloca Ampère como “só válida em situações com simetria”, o que é enganoso: Ampère (na forma completa de Maxwell) é uma lei geral; o que exige simetria é apenas o uso prático de Ampère para calcular
Resposta
Falso.