Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
(d) sumn=1^+infty(-1)^n+1 n ( R : diverge)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty(-1)^n+1n. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e testes de convergência, em especial o teste do termo geral (condição necessária) e o teste de Leibniz.

Passo 2

Para qualquer série sum an convergir, é obrigatório que limntoinftyan=0. No nosso caso temos an=(-1)^n+1n, e portanto
limntoinfty(-1)^n+1n
não existe, já que |(-1)^n+1n|=ntoinfty. Logo a condição anto0 não é satisfeita, implicando que a série diverge.

Passo 3

Para ilustrar de outro ângulo, podemos olhar as somas parciais pares:
S2k=sumn=1^2k(-1)^n+1n=1-2+3-4+cdots+(2k-1)-2k=-k

Passo 4

Como S2kto -infty quando ktoinfty, as somas parciais não convergem a um valor finito, confirmando a divergência da série.

Resposta

Diverge

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