Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(1,5,4) e
é paralela à reta de equações paramétricas r:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=20+2 t, \\\ z=t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad\right..

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(1,5,4)\) e é paralela à reta \[r:\begin{cases} x=1 - t,\\\ y=20 + 2t,\\\ z= t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Para isso, vamos usar que uma reta em \mathbb{R}^3\] pode ser escrita como \[\mathbf{r}(s)=\mathbf{P_0}+s\,\mathbf{v},\] onde \(\mathbf{P_0} é um ponto da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor \mathbf{v} da reta r observando os coeficientes de t em cada coordenada:
\mathbf{v}=(-1,\;2,\;1).

Passo 3

Como queremos uma reta paralela a r que passe por A=(1,5,4), tomamos \mathbf{P_0}=(1,5,4) e o mesmo vetor diretor \mathbf{v}=(-1,2,1). Logo as equações paramétricas são
x=1 - s,
y=5 + 2s,
z=4 + s,
com s\in\mathbb{R}.

Resposta

\text{Reta buscada: } \begin{cases} x=1 - s,\\\ y=5 + 2s,\\\ z=4 + s, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.

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