Usando o resultado anterior, encontre as transformadas de Laplace:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace de
.\n
Informações dadas e variáveis envolvidas:\n
Informações dadas e variáveis envolvidas:\n
-
é a variável do tempo, .\n -
é uma constante (pode ser real).\n - A transformada de Laplace será função de
(uma variável complexa); normalmente exigimos para convergência neste tipo de transformada.\n
Objetivo claro: calculare apresentar o resultado final.
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace (para eu e você lembrar o fundamento):\n
Aqui
é a variável complexa da transformada; a integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande (no nosso caso,
será suficiente).
Passo 3
Usamos um resultado padrão (o “resultado anterior” que o enunciado menciona): a transformada de
é\n
Breve explicação intuitiva: se você fizer a integral
por partes ou usando formas exponenciais complexas, chega-se a essa fração. Aqui
e
aparecem combinados como
.
Passo 4
Vamos usar uma propriedade muito útil e prática (que facilita muito esses exercícios): multiplicar
por
corresponde a derivar a transformada em relação a
, com sinal negativo. Mais precisamente:\n
Por que isso vale? Derivando sob o sinal de integral:\n
Ou seja, trocar multiplicação por
por
derivada em
é totalmente legítimo (desde que possamos trocar derivada e integral, o que é verdade para as funções usuais aqui).
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso: seja\n
Então\n
Calculemos a derivada passo a passo: primeiro escrevemos
. Usando a regra da cadeia,\n
Como
, temos\n
Portanto,\n
Passo 6
Interpretação final e condição de convergência: a expressão encontrada vale para
(para
real essa condição garante a convergência da integral). É uma forma bem simples e prática, que você pode obter sem fazer a integral direta — basta lembrar da transformada de
e da propriedade de derivação.