Usando o resultado anterior, encontre as transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\left\{\boldsymbol{t} \boldsymbol{\operatorname { s i n }} \boldsymbol{k} \boldsymbol{t}\right\};

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace de t\sin(kt).\n
Informações dadas e variáveis envolvidas:\n
  • t é a variável do tempo, t\ge 0.\n
  • k é uma constante (pode ser real).\n
  • A transformada de Laplace será função de s (uma variável complexa); normalmente exigimos \operatorname{Re}(s)>0 para convergência neste tipo de transformada.\n
    Objetivo claro: calcular \mathcal{L}\{t\sin(kt)\} e apresentar o resultado final.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace (para eu e você lembrar o fundamento):\n
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; a integral converge para valores de s com parte real suficientemente grande (no nosso caso, \operatorname{Re}(s)>0 será suficiente).

Passo 3

Usamos um resultado padrão (o “resultado anterior” que o enunciado menciona): a transformada de \sin(kt) é\n
\mathcal{L}\{\sin(kt)\}(s)=\frac{k}{s^{2}+k^{2}}.
Breve explicação intuitiva: se você fizer a integral \int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(kt)\,dt por partes ou usando formas exponenciais complexas, chega-se a essa fração. Aqui k e s aparecem combinados como s^{2}+k^{2}.

Passo 4

Vamos usar uma propriedade muito útil e prática (que facilita muito esses exercícios): multiplicar f(t) por t corresponde a derivar a transformada em relação a s, com sinal negativo. Mais precisamente:\n
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr).
Por que isso vale? Derivando sob o sinal de integral:\n
\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}f(t)\bigr)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Ou seja, trocar multiplicação por t por - derivada em s é totalmente legítimo (desde que possamos trocar derivada e integral, o que é verdade para as funções usuais aqui).

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso: seja\n
F(s)=\mathcal{L}\{\sin(kt)\}(s)=\frac{k}{s^{2}+k^{2}}.
Então\n
\mathcal{L}\{t\sin(kt)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right).
Calculemos a derivada passo a passo: primeiro escrevemos F(s)=k\,(s^{2}+k^{2})^{-1}. Usando a regra da cadeia,\n
\frac{d}{ds}F(s)=k\cdot\frac{d}{ds}\bigl((s^{2}+k^{2})^{-1}\bigr) = k\cdot(-1)(s^{2}+k^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{ds}(s^{2}+k^{2}).
Como \frac{d}{ds}(s^{2}+k^{2})=2s, temos\n
\frac{d}{ds}F(s) = -2ks\,(s^{2}+k^{2})^{-2} = -\frac{2ks}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.
Portanto,\n
\mathcal{L}\{t\sin(kt)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s) = -\left(-\frac{2ks}{(s^{2}+k^{2})^{2}}\right)=\frac{2ks}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.

Passo 6

Interpretação final e condição de convergência: a expressão encontrada vale para \operatorname{Re}(s)>0 (para k real essa condição garante a convergência da integral). É uma forma bem simples e prática, que você pode obter sem fazer a integral direta — basta lembrar da transformada de \sin(kt) e da propriedade de derivação.

Resposta

\mathcal{L}\{t\sin(kt)\}(s)=\frac{2ks}{(s^{2}+k^{2})^{2}}

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