Achar a transformada de Laplace das funções dadas a seguir.
f(t)= \begin{cases}0, & t<\pi \\\ t-\pi, & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: achar a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por partes \[f(t)= \begin{cases}0, & t<\pi \\\ t-\pi, & \pi \leq t<2\pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{cases}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  1. f(t)=0\] para \(t<\pi.
  2. f(t)=t-\pi no intervalo \pi\le t<2\pi.
  3. f(t)=0 para t\ge 2\pi.
    O que é pedido: calcular \mathcal{L}\{f\}(s), a transformada de Laplace da função f.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo e o integral é entendido para valores de s que tornam a integral convergente (normalmente \Re(s)>0 para funções de crescimento polinomial). Aqui g(t) é a função temporal e e^{-st} é o núcleo da transformada que “dá peso” à função na integral.

Passo 3

Como f(t) é nula fora do intervalo [\pi,2\pi), a integral da definição pode ser reduzida somente a esse intervalo. Logo
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt = \int_{\pi}^{2\pi} (t-\pi)\,e^{-s t}\,dt.
Explicação rápida: como f(t)=0 para t<\pi e para t\ge2\pi, essas partes da integral não contribuem.

Passo 4

Para facilitar o cálculo, fazemos a substituição u=t-\pi. Assim, quando t=\pi temos u=0 e quando t=2\pi temos u=\pi. Também t=u+\pi e dt=du. Substituindo na integral:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\pi} u\,e^{-s(u+\pi)}\,du.
Fatoramos e^{-s\pi}, que é independente de u:
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-s\pi}\int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral \int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du. Usamos integração por partes; explicando a ideia: integração por partes diz que, para funções U(u) e V'(u),
\int U\,V' = U V - \int U' V.
Escolhemos U(u)=u (porque sua derivada é simples) e V'(u)=e^{-s u} (porque sua primitiva é simples). Então U'(u)=1 e V(u)=-\dfrac{e^{-s u}}{s}. Aplicando:
\int u\,e^{-s u}\,du = -\frac{u\,e^{-s u}}{s} - \frac{e^{-s u}}{s^{2}} + C.
Comentário sobre o termo: ao integrar por partes aparece um termo da forma -\dfrac{u e^{-s u}}{s} e mais uma integral \dfrac{1}{s}\int e^{-s u}du que resulta em -\dfrac{e^{-s u}}{s^{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva obtida entre 0 e \pi:
\int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du = \left[-\frac{u\,e^{-s u}}{s} - \frac{e^{-s u}}{s^{2}}\right]_{0}^{\pi}.
Calculamos os termos em cada limite:
  • Em u=\pi: -\dfrac{\pi e^{-s\pi}}{s} - \dfrac{e^{-s\pi}}{s^{2}} = -\dfrac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}.
  • Em u=0: -\dfrac{0\cdot e^{0}}{s} - \dfrac{e^{0}}{s^{2}} = -\dfrac{1}{s^{2}}.
    Subtraindo (valor em \pi menos valor em 0):
\int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du = -\frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}} - \left(-\frac{1}{s^{2}}\right) = \frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}.

Passo 7

Voltando à expressão com o fator e^{-s\pi} (veja o Passo 4), multiplicamos:
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-s\pi}\left(\frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}\right).
Distribuindo:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s\pi}}{s^{2}} - \frac{(\pi s + 1)e^{-2s\pi}}{s^{2}}.
Podemos observar que essa expressão é válida para valores de s com \Re(s)>0 (região onde a integral converge, já que integrando uma função de crescimento polinomial multiplicada por e^{-st} exige decaimento exponencial).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s\pi}}{s^{2}}-\frac{(\pi s+1)e^{-2s\pi}}{s^{2}}

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