O enunciado pede: achar a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por partes
\[f(t)= \begin{cases}0, & t<\pi \\\ t-\pi, & \pi \leq t<2\pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{cases}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(t)=0\] para \(t<\pi.
f(t)=t-\pi no intervalo \pi\le t<2\pi.
f(t)=0 para t\ge 2\pi.
O que é pedido: calcular \mathcal{L}\{f\}(s), a transformada de Laplace da função f.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
onde s é, em geral, um número complexo e o integral é entendido para valores de s que tornam a integral convergente (normalmente \Re(s)>0 para funções de crescimento polinomial). Aqui g(t) é a função temporal e e^{-st} é o núcleo da transformada que “dá peso” à função na integral.
Passo 3
Como f(t) é nula fora do intervalo [\pi,2\pi), a integral da definição pode ser reduzida somente a esse intervalo. Logo
Explicação rápida: como f(t)=0 para t<\pi e para t\ge2\pi, essas partes da integral não contribuem.
Passo 4
Para facilitar o cálculo, fazemos a substituição u=t-\pi. Assim, quando t=\pi temos u=0 e quando t=2\pi temos u=\pi. Também t=u+\pi e dt=du. Substituindo na integral:
Agora precisamos calcular a integral \int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du. Usamos integração por partes; explicando a ideia: integração por partes diz que, para funções U(u) e V'(u),
\int U\,V' = U V - \int U' V.
Escolhemos U(u)=u (porque sua derivada é simples) e V'(u)=e^{-s u} (porque sua primitiva é simples). Então U'(u)=1 e V(u)=-\dfrac{e^{-s u}}{s}. Aplicando:
Comentário sobre o termo: ao integrar por partes aparece um termo da forma -\dfrac{u e^{-s u}}{s} e mais uma integral \dfrac{1}{s}\int e^{-s u}du que resulta em -\dfrac{e^{-s u}}{s^{2}}.
Em u=\pi: -\dfrac{\pi e^{-s\pi}}{s} - \dfrac{e^{-s\pi}}{s^{2}} = -\dfrac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}.
Em u=0: -\dfrac{0\cdot e^{0}}{s} - \dfrac{e^{0}}{s^{2}} = -\dfrac{1}{s^{2}}.
Subtraindo (valor em \pi menos valor em 0):
\int_{0}^{\pi} u\,e^{-s u}\,du = -\frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}} - \left(-\frac{1}{s^{2}}\right) = \frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}.
Passo 7
Voltando à expressão com o fator e^{-s\pi} (veja o Passo 4), multiplicamos:
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-s\pi}\left(\frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s\pi}(\pi s + 1)}{s^{2}}\right).
Distribuindo:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s\pi}}{s^{2}} - \frac{(\pi s + 1)e^{-2s\pi}}{s^{2}}.
Podemos observar que essa expressão é válida para valores de s com \Re(s)>0 (região onde a integral converge, já que integrando uma função de crescimento polinomial multiplicada por e^{-st} exige decaimento exponencial).