Justifique a afirmativa: “O transporte do material depende do movimento da peneira que deve promover um impulso a cada partícula, capaz de levantá-la e lançá-la 1 a
aberturas a frente.”
Passo 1
O que o enunciado pede: justificar a afirmativa de que “o transporte do material depende do movimento da peneira que deve promover um impulso a cada partícula, capaz de levantá-la e lançá-la entre
e
aberturas à frente.”
Informações e quantidades relevantes que vamos usar (essas são as grandezas que aparecem implicitamente na frase):
- distância entre aberturas (passo da peneira):
(unidade de comprimento). - aceleração da gravidade:
. - massa típica de uma partícula:
. - componentes da velocidade logo após o impulso: velocidade vertical inicial
e velocidade horizontal inicial . - impulso aplicado pela peneira por partícula:
(vetor), com componentes e .
Nenhuma outra informação numérica foi dada. O objetivo é mostrar, de forma física e matemática simples, por que é preciso que a peneira dê um impulso por partícula que gere um salto cujo alcance horizontal seja entre
e
aberturas (ou seja, entre
e
).
Passo 2
Modelo físico simples (modelagem que costuma ser usada para justificar esse tipo de afirmação):
- Tratar cada partícula como um projétil lançado com velocidade inicial
no plano horizontal-vertical, logo após um pequeno tempo de contato com a peneira (impulso quase instantâneo). - Durante o voo a única força importante é a gravidade
(desprezamos resistência do ar e forças de colisão intermediárias para a estimativa básica). - A posição horizontal que a partícula percorre entre o lançamento e o pouso é o deslocamento que determina quantas aberturas ela avança.
Vou ensinar rapidamente as fórmulas do movimento de projétil que vamos usar e o que representam as variáveis:
- Tempo total de voo
: é o tempo que a partícula leva para subir e descer até a mesma altura de onde foi lançada. Para uma velocidade vertical inicial para cima vale
Aqui
tem unidade de velocidade,
tem unidade de aceleração; a razão dá tempo.
- Deslocamento horizontal
durante o voo: com velocidade horizontal quase constante ,
Esse
é a distância, em metros, que a partícula “cai” mais à frente. Para avançar exatamente
aberturas, precisa-se de
.
Passo 3
Condicionamento para avançar entre
e
aberturas:
- Queremos
entre e . Escrevendo isso com as fórmulas:
Substituindo
:
Multiplicando por
obtemos a condição sobre o produto das velocidades:
Explicação verbal: o produto
(velocidade horizontal vezes velocidade vertical inicial) precisa estar dentro dessa faixa para que, com a gravidade conhecida, a partícula percorra entre
e
aberturas no salto.
Passo 4
Relacionando a condição com o impulso que a peneira deve aplicar:
- Impulso na direção vertical necessário para gerar
é (assumindo que antes do impulso a velocidade vertical era zero). - Impulso na direção horizontal necessário para gerar
é (ou parte dele pode vir por atrito tangencial entre partícula e superfície em movimento). - Portanto a condição em termos de impulso (produto das componentes) é
ou, rearranjando,
Isto mostra que existe uma faixa de impulsos (ou, alternativamente, uma faixa de combinação entre impulso vertical e tangencial/fricção) que resulta no avanço desejado.
Passo 5
Interpretação prática e por que isso justifica a afirmativa original:
- A peneira, ao vibrar ou oscilar, dá um pequeno choque (impulso) a cada partícula no contato. Esse impulso deve ter componentes verticais (para levantar a partícula) e horizontais (para deslocá‑la para frente). Se o impulso for insuficiente (produto
abaixo de ), o salto não levará a partícula até a próxima abertura e o material tende a acumular/jamar — ou o transporte será muito lento (não ocorre “conveying” efetivo). - Se o impulso for muito grande (produto acima de
), a partícula pula demais (mais de aberturas), causando saltos desordenados, perda de sincronismo entre partículas, espalhamento e transporte ineficiente ou irregular. - Portanto o transporte macroscópico depende criticamente do movimento (amplitude e velocidade) da peneira, porque é esse movimento que determina o impulso por partícula e, por consequência, as velocidades
e que controlam o alcance . Projetistas de peneiras ajustam amplitude e frequência para que a média dos impulsos por ciclo caia na faixa que dá avanço de aproximadamente a aberturas — isso maximiza fluxo e evita bloqueios.
Passo 6
Um exemplo numérico ilustrativo (para fixar a intuição):
- Suponha
(abertura de ) e . - A condição em
fica
ou seja
- Se a componente horizontal média
for, por exemplo, , então a componente vertical necessária deve satisfazer
o que dá aproximadamente
- Isso mostra que não é preciso uma velocidade vertical enorme para alcançar uma abertura: basta um impulso bem calibrado. A peneira controla isso via amplitude/frequência e pelo tempo de contato (e pelo atrito que gera
).
Passo 7
Conclusão intuitiva e de projeto (reforço didático):
- O transporte é, portanto, controlado pelo movimento da peneira porque é esse movimento que fornece, a cada ciclo, o impulso que fixa
e . - A faixa “entre
e aberturas” é um compromisso prático: avança partículas de forma ordenada (evita acúmulo) sem provocar saltos descontrolados. A matemática do projétil mostra exatamente como escolher a combinação de componentes de velocidade/impulso para obter esse avanço.
Resposta
Porque o avanço por ciclo é determinado pelo alcance horizontal
do salto de cada partícula, e com o modelo de projétil vale
; para que
fique entre
e
(uma a uma vez e meia a distância entre aberturas) é preciso que as componentes de velocidade impostas pelo impulso satisfaçam
, o que equivale a uma faixa exigida de impulso vertical e horizontal que só a peneira, ajustando sua amplitude/frequência (ou seja, o impulso por partícula), pode fornecer.