Justifique a afirmativa: “O transporte do material depende do movimento da peneira que deve promover um impulso a cada partícula, capaz de levantá-la e lançá-la 1 a 1 \frac{1}{2} aberturas a frente.”

Passo 1

O que o enunciado pede: justificar a afirmativa de que “o transporte do material depende do movimento da peneira que deve promover um impulso a cada partícula, capaz de levantá-la e lançá-la entre 1 e 1{,}5 aberturas à frente.”
Informações e quantidades relevantes que vamos usar (essas são as grandezas que aparecem implicitamente na frase):
  • distância entre aberturas (passo da peneira): d (unidade de comprimento).
  • aceleração da gravidade: g.
  • massa típica de uma partícula: m.
  • componentes da velocidade logo após o impulso: velocidade vertical inicial v_z e velocidade horizontal inicial u.
  • impulso aplicado pela peneira por partícula: J (vetor), com componentes J_z e J_x.
Nenhuma outra informação numérica foi dada. O objetivo é mostrar, de forma física e matemática simples, por que é preciso que a peneira dê um impulso por partícula que gere um salto cujo alcance horizontal seja entre 1 e 1{,}5 aberturas (ou seja, entre d e 1{,}5d).

Passo 2

Modelo físico simples (modelagem que costuma ser usada para justificar esse tipo de afirmação):
  • Tratar cada partícula como um projétil lançado com velocidade inicial (u, v_z) no plano horizontal-vertical, logo após um pequeno tempo de contato com a peneira (impulso quase instantâneo).
  • Durante o voo a única força importante é a gravidade g (desprezamos resistência do ar e forças de colisão intermediárias para a estimativa básica).
  • A posição horizontal que a partícula percorre entre o lançamento e o pouso é o deslocamento que determina quantas aberturas ela avança.
Vou ensinar rapidamente as fórmulas do movimento de projétil que vamos usar e o que representam as variáveis:
  • Tempo total de voo t: é o tempo que a partícula leva para subir e descer até a mesma altura de onde foi lançada. Para uma velocidade vertical inicial v_z para cima vale
t=\frac{2v_z}{g}.
Aqui v_z tem unidade de velocidade, g tem unidade de aceleração; a razão dá tempo.
  • Deslocamento horizontal s durante o voo: com velocidade horizontal quase constante u,
s = u\cdot t = u\cdot\frac{2v_z}{g}.
Esse s é a distância, em metros, que a partícula “cai” mais à frente. Para avançar exatamente k aberturas, precisa-se de s=k d.

Passo 3

Condicionamento para avançar entre 1 e 1{,}5 aberturas:
  • Queremos s entre d e 1{,}5d. Escrevendo isso com as fórmulas:
d \le s \le 1{,}5d.
Substituindo s:
d \le \frac{2 u v_z}{g} \le 1{,}5 d.
Multiplicando por g/2 obtemos a condição sobre o produto das velocidades:
\frac{g d}{2} \le u\,v_z \le \frac{3 g d}{4}.
Explicação verbal: o produto u\,v_z (velocidade horizontal vezes velocidade vertical inicial) precisa estar dentro dessa faixa para que, com a gravidade conhecida, a partícula percorra entre 1 e 1{,}5 aberturas no salto.

Passo 4

Relacionando a condição com o impulso que a peneira deve aplicar:
  • Impulso na direção vertical necessário para gerar v_z é J_z = m v_z (assumindo que antes do impulso a velocidade vertical era zero).
  • Impulso na direção horizontal necessário para gerar u é J_x = m u (ou parte dele pode vir por atrito tangencial entre partícula e superfície em movimento).
  • Portanto a condição em termos de impulso (produto das componentes) é
\frac{g d}{2} \le \frac{J_x}{m}\cdot\frac{J_z}{m} \le \frac{3 g d}{4},
ou, rearranjando,
\frac{g d\,m^2}{2} \le J_x J_z \le \frac{3 g d\,m^2}{4}.
Isto mostra que existe uma faixa de impulsos (ou, alternativamente, uma faixa de combinação entre impulso vertical e tangencial/fricção) que resulta no avanço desejado.

Passo 5

Interpretação prática e por que isso justifica a afirmativa original:
  • A peneira, ao vibrar ou oscilar, dá um pequeno choque (impulso) a cada partícula no contato. Esse impulso deve ter componentes verticais (para levantar a partícula) e horizontais (para deslocá‑la para frente). Se o impulso for insuficiente (produto u v_z abaixo de \frac{g d}{2}), o salto não levará a partícula até a próxima abertura e o material tende a acumular/jamar — ou o transporte será muito lento (não ocorre “conveying” efetivo).
  • Se o impulso for muito grande (produto acima de \frac{3 g d}{4}), a partícula pula demais (mais de 1{,}5 aberturas), causando saltos desordenados, perda de sincronismo entre partículas, espalhamento e transporte ineficiente ou irregular.
  • Portanto o transporte macroscópico depende criticamente do movimento (amplitude e velocidade) da peneira, porque é esse movimento que determina o impulso por partícula e, por consequência, as velocidades v_z e u que controlam o alcance s. Projetistas de peneiras ajustam amplitude e frequência para que a média dos impulsos por ciclo caia na faixa que dá avanço de aproximadamente 1 a 1{,}5 aberturas — isso maximiza fluxo e evita bloqueios.

Passo 6

Um exemplo numérico ilustrativo (para fixar a intuição):
  • Suponha d=0{,}01\\ \text{m} (abertura de 10\\ \text{mm}) e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • A condição em u v_z fica
\frac{9{,}81\cdot 0{,}01}{2}\le u v_z \le \frac{3\cdot 9{,}81\cdot 0{,}01}{4},
ou seja
0{,}04905 \le u v_z \le 0{,}073575\quad(\text{m}^2/\text{s}^2).
  • Se a componente horizontal média u for, por exemplo, 0{,}5\\ \text{m/s}, então a componente vertical necessária v_z deve satisfazer
0{,}04905 \le 0{,}5\cdot v_z \le 0{,}073575
o que dá aproximadamente
v_z \in [0{,}0981,\\\ 0{,}14715]\\ \text{m/s}.
  • Isso mostra que não é preciso uma velocidade vertical enorme para alcançar uma abertura: basta um impulso bem calibrado. A peneira controla isso via amplitude/frequência e pelo tempo de contato (e pelo atrito que gera u).

Passo 7

Conclusão intuitiva e de projeto (reforço didático):
  • O transporte é, portanto, controlado pelo movimento da peneira porque é esse movimento que fornece, a cada ciclo, o impulso que fixa v_z e u.
  • A faixa “entre 1 e 1{,}5 aberturas” é um compromisso prático: avança partículas de forma ordenada (evita acúmulo) sem provocar saltos descontrolados. A matemática do projétil mostra exatamente como escolher a combinação de componentes de velocidade/impulso para obter esse avanço.

Resposta

Porque o avanço por ciclo é determinado pelo alcance horizontal s do salto de cada partícula, e com o modelo de projétil vale s=u\cdot(2v_z/g); para que s fique entre d e 1{,}5d (uma a uma vez e meia a distância entre aberturas) é preciso que as componentes de velocidade impostas pelo impulso satisfaçam \dfrac{g d}{2}\le u v_z\le\dfrac{3 g d}{4}, o que equivale a uma faixa exigida de impulso vertical e horizontal que só a peneira, ajustando sua amplitude/frequência (ou seja, o impulso por partícula), pode fornecer.

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