Justifique com base nas definições do exercícios anterior:
sin (x) e cos (x) sempre estão entre [-1,1] para qualquer valor de x real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo xinR, sin(x) e cos(x) pertencem ao intervalo [-1,1]. Vamos usar as definições de sin e cos em termos da função exponencial complexa (fórmula de Euler) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Relembrando as definições via Euler:
cos(x) = e^ix + e^-ix2,
sin(x) = e^ix - e^-ix2i

Passo 3

Para x real vale
l|e^ixr| = 1 e l|e^-ixr| = 1,
pois e^ix = cos(x) + isin(x) é um número sobre o círculo unitário no plano complexo.

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular em cos(x):
l|cos(x)r| = |e^ix + e^-ix2| <= l|e^ixr| + l|e^-ixr|2 = 1 + 12 = 1
Logo -1 <= cos(x) <= 1.

Passo 5

De modo análogo em sin(x):
l|sin(x)r| = |e^ix - e^-ix2i| = l|e^ix - e^-ixr|2 <= l|e^ixr| + l|e^-ixr|2 = 1
Logo -1 <= sin(x) <= 1.

Resposta

Como mostramos l|cos(x)r|<=1 e l|sin(x)r|<=1 para todo xinR, segue que
cos(x)in[-1,1] e sin(x)in[-1,1]

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