Exercício 1. Explique por que a função é descontínua no número dado a.
f(x)=ll1x+2, & se x neq-2 1, & se x=-2, a=-2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfrac1x+2,&se xneq -2,[6pt] 1,&se x=-2,
e pede para explicar por que f é descontínua em a=-2. O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto, que envolve comparar o limite de f(x) quando xto a com o valor f(a).]

Passo 2

Lembrando a definição: ,f é contínua em x=a se e somente se
1. os limites laterais limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem e são iguais entre si,
2. esse limite comum coincide com o valor f(a).
Se qualquer uma dessas condições falhar, f é descontínua em a.

Passo 3

Para xneq -2, temos f(x)=1/(x+2). Ao aproximar x de -2, o denominador x+2 tende a zero, e portanto
limxto -2^+f(x) =limxto -2^+1x+2=+infty,
limxto -2^-f(x) =limxto -2^-1x+2=-infty
Logo, nem mesmo existe um limite finito único limxto -2f(x).

Passo 4

Como
  • os limites laterais não existem como número real (tendem a pminfty) e
  • mesmo que existissem, não poderiam coincidir com f(-2)=1,
a condição de continuidade falha. Portanto f é descontínua em x=-2.

Resposta

A função é descontínua em a=-2 porque o limite limxto -2f(x) não existe (vai a +infty pela direita e a -infty pela esquerda) e, além disso, não coincide com o valor f(-2)=1.

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