Exercício 1. Explique por que a função é descontínua no número dado a. .
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= dfrac1x+2,&se xneq -2,[6pt] 1,&se x=-2,
e pede para explicar por que f é descontínua em a=-2. O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto, que envolve comparar o limite de f(x) quando xto a com o valor f(a).]
Passo 2
Lembrando a definição: ,f é contínua em x=a se e somente se 1. os limites laterais limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem e são iguais entre si, 2. esse limite comum coincide com o valor f(a).
Se qualquer uma dessas condições falhar, f é descontínua em a.
Passo 3
Para xneq -2, temos f(x)=1/(x+2). Ao aproximar x de -2, o denominador x+2 tende a zero, e portanto
limxto -2^+f(x) =limxto -2^+1x+2=+infty,
limxto -2^-f(x) =limxto -2^-1x+2=-infty
Logo, nem mesmo existe um limite finito único limxto -2f(x).
Passo 4
Como
os limites laterais não existem como número real (tendem a pminfty) e
mesmo que existissem, não poderiam coincidir com f(-2)=1,
a condição de continuidade falha. Portanto f é descontínua em x=-2.
Resposta
A função é descontínua em a=-2 porque o limite limxto -2f(x) não existe (vai a +infty pela direita e a -infty pela esquerda) e, além disso, não coincide com o valor f(-2)=1.