Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d) f(x, y) = { x*y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é diferenciável na origem, ou seja, em . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como verificar isso usando limites e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser diferenciável na origem. Uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso quer dizer que existem derivadas parciais em e que o erro na aproximação tende a zero mais rápido que a distância até .

Passo 3

Vamos começar verificando se a função é contínua na origem. Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a , que no caso é 0.

Passo 4

O limite que precisamos calcular é:
Vamos tentar avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, a função é contínua na origem.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Substituindo, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo, temos:
Novamente, o limite é 0.

Passo 7

Vamos tentar um caminho mais geral, como , onde é uma constante. Substituindo, temos:
Quando tende a 0, esse limite também é 0.

Passo 8

Como o limite é 0 ao longo de vários caminhos diferentes, podemos concluir que:
Portanto, a função é contínua na origem.

Passo 9

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de em . As derivadas parciais em são dadas por:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem.

Passo 10

Com as derivadas parciais encontradas, agora precisamos verificar se a função é diferenciável. Para isso, usamos a condição de diferenciabilidade:
Substituindo os valores que temos:

Passo 11

Vamos avaliar esse limite. Uma maneira eficiente é usar coordenadas polares, onde e . Substituindo, temos:
Note que o limite agora depende de , o que significa que ele pode assumir diferentes valores dependendo da direção de aproximação.

Passo 12

Como o limite depende de e pode variar entre diferentes valores, o limite geral não existe. Isso implica que a condição de diferenciabilidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

Exercícios relacionados