Justifique os dois casos.
Se
Passo 1
O enunciado pede que se justifique o seguinte limite quando
tende a infinito:
sob a hipótese dada:
.
Informações fornecidas e o que queremos mostrar:
- Temos uma base
fixa com . - A função que vamos analisar é
com . - Queremos provar que os valores
ficam arbitrariamente pequenos quando cresce muito, isto é, a potência tende a .
Passo 2
Vamos reescrever
usando a função exponencial natural e o logaritmo natural. Para qualquer
e qualquer real
vale a identidade
onde
é o logaritmo natural de
e
é a função exponencial. Vou explicar por que isso é válido e o que cada termo significa:
-
é o número tal que . O logaritmo natural existe para todo . - A expressão
é a definição usual de para expoentes reais (estamos usando a propriedade ). - Como
, temos . A função é estritamente crescente e . Portanto
ou seja,
é um número negativo fixo (vou usar
como abreviação).
Passo 3
Estudo o comportamento do expoente
quando
. Como
é constante, temos
Para ver que
quando
, faça uma prova simples por definição de limite divergente: dado qualquer
, escolha
(note que
porque
). Então, para todo
,
Isto mostra que
fica abaixo de quaisquer números negativos grandes quando
é grande, portanto
Passo 4
Agora uso o comportamento da exponencial quando o argumento tende a
. A função
é contínua e estritamente positiva; além disso satisfaz
Uma justificativa rápida para isto: escreva
. Quando
, tem-se
. E
(por exemplo, a série da exponencial
cresce sem limite para
), então o denominador
tende a
e a fração tende a
. Portanto
quando
.
Passo 5
Juntando os passos anteriores: como
, e já mostramos que
quando
, aplicando a continuidade da exponencial obtemos
Em palavras: o expoente
vai para
(porque
), e a exponencial de um número que tende a
tende a
. Logo
tende a
.
Passando a intuição: como
, elevar
a potências cada vez maiores faz com que o número fique cada vez mais perto de zero (por exemplo,
vai para zero quando
); a demonstração formal acima é a versão contínua dessa ideia.