Justifique os dois casos.
\lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}=0
Se 0<a<1

Passo 1

O enunciado pede que se justifique o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty} a^{x}=0,
sob a hipótese dada: 0<a<1.
Informações fornecidas e o que queremos mostrar:
  • Temos uma base a fixa com 0<a<1.
  • A função que vamos analisar é x\mapsto a^{x} com x\to\infty.
  • Queremos provar que os valores a^{x} ficam arbitrariamente pequenos quando x cresce muito, isto é, a potência tende a 0.

Passo 2

Vamos reescrever a^{x} usando a função exponencial natural e o logaritmo natural. Para qualquer a>0 e qualquer real x vale a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a e e^{(\cdot)} é a função exponencial. Vou explicar por que isso é válido e o que cada termo significa:
  • \ln a é o número tal que e^{\ln a}=a. O logaritmo natural existe para todo a>0.
  • A expressão e^{x\ln a} é a definição usual de a^{x} para expoentes reais (estamos usando a propriedade a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}).
  • Como 0<a<1, temos a<1. A função \ln é estritamente crescente e \ln 1=0. Portanto
\ln a<\ln 1=0,
ou seja, c:=\ln a é um número negativo fixo (vou usar c como abreviação).

Passo 3

Estudo o comportamento do expoente x\ln a quando x\to\infty. Como c=\ln a<0 é constante, temos
x\ln a = x c.
Para ver que x c \to -\infty quando x\to\infty, faça uma prova simples por definição de limite divergente: dado qualquer R>0, escolha X=\dfrac{R}{-c} (note que -c>0 porque c<0). Então, para todo x>X,
x c < -R.
Isto mostra que x c fica abaixo de quaisquer números negativos grandes quando x é grande, portanto
\lim_{x\to\infty} x\ln a = -\infty.

Passo 4

Agora uso o comportamento da exponencial quando o argumento tende a -\infty. A função t\mapsto e^{t} é contínua e estritamente positiva; além disso satisfaz
\lim_{t\to -\infty} e^{t}=0.
Uma justificativa rápida para isto: escreva e^{t}=\dfrac{1}{e^{-t}}. Quando t\to -\infty, tem-se -t\to+\infty. E \lim_{s\to+\infty} e^{s}=+\infty (por exemplo, a série da exponencial \sum_{n=0}^\infty s^{n}/n! cresce sem limite para s\to\infty), então o denominador e^{-t} tende a +\infty e a fração tende a 0. Portanto e^{t}\to 0 quando t\to -\infty.

Passo 5

Juntando os passos anteriores: como a^{x}=e^{x\ln a}, e já mostramos que x\ln a\to -\infty quando x\to\infty, aplicando a continuidade da exponencial obtemos
\lim_{x\to\infty} a^{x} = \lim_{x\to\infty} e^{x\ln a} = e^{-\infty}=0.
Em palavras: o expoente x\ln a vai para -\infty (porque \ln a<0), e a exponencial de um número que tende a -\infty tende a 0. Logo a^{x} tende a 0.
Passando a intuição: como 0<a<1, elevar a a potências cada vez maiores faz com que o número fique cada vez mais perto de zero (por exemplo, (1/2)^n vai para zero quando n\to\infty); a demonstração formal acima é a versão contínua dessa ideia.

Resposta

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