Justificar se o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe ou não (e, se existir, determinar seu valor).
Dizer se f é contínua em todo o conjunto \mathbf{R}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão para f(x) quando x\neq 0 é x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
O valor de f em 0 é f(0)=0.]
Passo 2
Vamos estudar \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Primeiro um fato muito útil sobre a função seno que usaremos: para todo número real t vale
\lvert \sin t\rvert \le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (sempre válido para x\neq 0) obtemos
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado teorema do sanduíche): se uma função g(x) satisfaz -h(x)\le g(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} h(x)=0, então \lim_{x\to a} g(x)=0.
Se quiseres uma demonstração mais “ε–δ” (formal) do mesmo resultado: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Então, se 0<\lvert x\rvert<\delta,
Isso prova diretamente que \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0.
Passo 5
Agora a continuidade. Lembrete: uma função f é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
No ponto 0: já mostramos que \lim_{x\to 0} f(x)=0. Como f(0)=0 por definição, tem-se \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Logo f é contínua em 0.
Em um ponto a\neq 0: a expressão para f é f(x)=x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) em uma vizinhança de a. As funções x\mapsto x e x\mapsto \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) são contínuas em a (pois 1/x é contínua em a\neq 0 e \sin é contínua em todo lugar; composição de funções contínuas é contínua). O produto de funções contínuas é contínuo. Portanto