Justifique se o limite existe ou não.
f(x)= \begin{cases}x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{cases}
Diga se a função é contínua em todo o conjunto de \mathbf{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes:
f(x)= \begin{cases}x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right), & \text{se } x \neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0.\end{cases}
O que é pedido:
  • Justificar se o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe ou não (e, se existir, determinar seu valor).
  • Dizer se f é contínua em todo o conjunto \mathbf{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para f(x) quando x\neq 0 é x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • O valor de f em 0 é f(0)=0.]

Passo 2

Vamos estudar \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Primeiro um fato muito útil sobre a função seno que usaremos: para todo número real t vale
\lvert \sin t\rvert \le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (sempre válido para x\neq 0) obtemos
\left\lvert \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right\rvert \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por \lvert x\rvert (que é não negativo) temos
\lvert x\rvert \cdot \left\lvert \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right\rvert \le \lvert x\rvert,
ou seja,
\left\lvert x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right\rvert \le \lvert x\rvert.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado teorema do sanduíche): se uma função g(x) satisfaz -h(x)\le g(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} h(x)=0, então \lim_{x\to a} g(x)=0.
No nosso caso podemos escrever, para x\neq 0,
-\,\lvert x\rvert \le x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) \le \lvert x\rvert.
Como \lim_{x\to 0}\lvert x\rvert = 0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0.
Portanto o limite existe e vale 0.

Passo 4

Se quiseres uma demonstração mais “ε–δ” (formal) do mesmo resultado: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Então, se 0<\lvert x\rvert<\delta,
\left\lvert x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)-0\right\rvert = \left\lvert x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right\rvert \le \lvert x\rvert < \delta = \varepsilon.
Isso prova diretamente que \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0.

Passo 5

Agora a continuidade. Lembrete: uma função f é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
  • No ponto 0: já mostramos que \lim_{x\to 0} f(x)=0. Como f(0)=0 por definição, tem-se \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Logo f é contínua em 0.
  • Em um ponto a\neq 0: a expressão para f é f(x)=x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) em uma vizinhança de a. As funções x\mapsto x e x\mapsto \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) são contínuas em a (pois 1/x é contínua em a\neq 0 e \sin é contínua em todo lugar; composição de funções contínuas é contínua). O produto de funções contínuas é contínuo. Portanto
\lim_{x\to a} f(x) = a\sin\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = f(a),
o que mostra continuidade em qualquer a\neq 0.

Passo 6

Juntando os dois casos, f é contínua em 0 e em todo a\neq 0. Conclusão: f é contínua em todo o conjunto \mathbf{R}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0\n
A função f é contínua em todo \mathbf{R}.

Exercícios relacionados