Justifique os dois casos.
Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se justificar o valor do limite
no caso em que . - Informação dada:
é um número real com . - Objetivo final: mostrar que, quando
, a potência cresce sem limite quando tende a ; isto é, provar que .
Passo 2
Plano de resolução (breve e claro): vou apresentar duas maneiras complementares e didáticas de justificar o resultado.
- Método A (mais curto, usando logaritmo natural e a função exponencial).
- Método B (mais elementar, sem logaritmo: primeiro para expoentes inteiros, depois estendo para expoentes reais usando monotonicidade).
Escolhi mostrar os dois porque o Método A é direto quando já se conhecee , e o Método B é útil para entender “na base” por que a potência diverge.
Passo 3
Conceitos importantes que vou usar (explicados de forma simples):
- A função exponencial
é crescente e para temos . Uma desigualdade simples que mostra isso é para todo real (isso vem da série ou da convexidade de ); então se a quantidade e, por consequência, . - Para
e real define-se (isto é a definição padrão que conecta potências reais com exponencial e logaritmo). Se , então .
Passo 4
- Como
, temos . - Para todo real
vale a identidade
- Quando
, o produto porque (multiplicar uma sequência que tende a por uma constante positiva dá ). - Como explicado no passo anterior,
quando . Aplicando com obtemos
- Portanto
Isso conclui a justificativa pelo Método A.
Passo 5
- Escreve
com (isso é possível porque ). - Para inteiros
vale a desigualdade do binômio (ou apenas observar os termos):
Isto é porque ao expandir
todos os termos além de
somam pelo menos
.
3) Assim para o lado direito
, logo
. Em outras palavras,
quando
.
4) Agora passe dos inteiros aos reais: para escreva
onde
é a parte inteira e
é a parte fracionária. Então
3) Assim para
4) Agora passe dos inteiros aos reais: para
Como
e
temos
, logo
- Se
então . Como já vimos , e , segue que quando . - Isso completa o Método B: a função
cresce e fica arbitrariamente grande conforme cresce, por isso o limite é .
Passo 6
Comentário final e intuição rápida: para
cada aumento unitário de
multiplica
por um fator
; multiplicações repetidas por um número maior que
fazem a quantidade crescer sem limite. Os dois métodos anteriores formalizam essa ideia (um via propriedades das funções exponencial e logaritmo, outro via comparação com potências inteiras).