Justifique os dois casos.
\lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}=\infty
Se a>1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se justificar o valor do limite \lim_{x\to\infty} a^{x} no caso em que a>1.
  • Informação dada: a é um número real com a>1.
  • Objetivo final: mostrar que, quando a>1, a potência a^{x} cresce sem limite quando x tende a +\infty; isto é, provar que \lim_{x\to\infty} a^{x}=\infty.

Passo 2

Plano de resolução (breve e claro): vou apresentar duas maneiras complementares e didáticas de justificar o resultado.
  • Método A (mais curto, usando logaritmo natural e a função exponencial).
  • Método B (mais elementar, sem logaritmo: primeiro para expoentes inteiros, depois estendo para expoentes reais usando monotonicidade).
    Escolhi mostrar os dois porque o Método A é direto quando já se conhece \exp e \ln, e o Método B é útil para entender “na base” por que a potência diverge.

Passo 3

Conceitos importantes que vou usar (explicados de forma simples):
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é crescente e para t\to\infty temos e^{t}\to\infty. Uma desigualdade simples que mostra isso é e^{t}\ge 1+t para todo t real (isso vem da série ou da convexidade de e^{t}); então se t\to\infty a quantidade 1+t\to\infty e, por consequência, e^{t}\to\infty.
  • Para a>0 e x real define-se a^{x}=e^{x\ln a} (isto é a definição padrão que conecta potências reais com exponencial e logaritmo). Se a>1, então \ln a>0.

Passo 4

  1. Como a>1, temos \ln a>0.
  2. Para todo real x vale a identidade
a^{x}=e^{x\ln a}.
  1. Quando x\to\infty, o produto x\ln a\to\infty porque \ln a>0 (multiplicar uma sequência que tende a +\infty por uma constante positiva dá +\infty).
  2. Como explicado no passo anterior, e^{t}\to\infty quando t\to\infty. Aplicando com t=x\ln a obtemos
e^{x\ln a}\to\infty\quad\text{quando }x\to\infty.
  1. Portanto
a^{x}=e^{x\ln a}\to\infty\quad\text{quando }x\to\infty.
Isso conclui a justificativa pelo Método A.

Passo 5

  1. Escreve a=1+\varepsilon com \varepsilon>0 (isso é possível porque a>1).
  2. Para inteiros n\ge 1 vale a desigualdade do binômio (ou apenas observar os termos):
(1+\varepsilon)^{n}\ge 1 + n\varepsilon.
Isto é porque ao expandir (1+\varepsilon)^{n} todos os termos além de 1 somam pelo menos n\varepsilon.
3) Assim para n\to\infty o lado direito 1+n\varepsilon\to\infty, logo (1+\varepsilon)^{n}\to\infty. Em outras palavras, \lim_{n\to\infty} a^{n}=\infty quando a>1.
4) Agora passe dos inteiros aos reais: para x\ge 0 escreva x=n+r onde n=\lfloor x\rfloor é a parte inteira e r\in[0,1) é a parte fracionária. Então
a^{x}=a^{n+r}=a^{n}\,a^{r}.
Como a>1 e r\ge 0 temos a^{r}\ge 1, logo
a^{x}\ge a^{n}.
  1. Se x\to\infty então n=\lfloor x\rfloor\to\infty. Como já vimos \lim_{n\to\infty} a^{n}=\infty, e a^{x}\ge a^{n}, segue que a^{x}\to\infty quando x\to\infty.
  2. Isso completa o Método B: a função x\mapsto a^{x} cresce e fica arbitrariamente grande conforme x cresce, por isso o limite é +\infty.

Passo 6

Comentário final e intuição rápida: para a>1 cada aumento unitário de x multiplica a^{x} por um fator a>1; multiplicações repetidas por um número maior que 1 fazem a quantidade crescer sem limite. Os dois métodos anteriores formalizam essa ideia (um via propriedades das funções exponencial e logaritmo, outro via comparação com potências inteiras).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty} a^{x} = \infty

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