Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios:
h(x)=\operatorname{sen} x+\cos x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede\n
  • Função dada: h(x)=\sin x+\cos x.\n
  • Domínio implícito: todos os números reais (não há restrição em seno ou cosseno).\n
  • Pergunta: justificar por que h é contínua em todo o seu domínio (ou seja, em todo \mathbb{R}).\n

Passo 2

O que significa “contínua” (definição que vamos usar)\n
  • Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Em linguagem \varepsilon- \delta: f é contínua em a quando, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.\n
    Vou usar essa definição para mostrar continuidade ponto a ponto.

Passo 3

Estratégia geral simples e útil (teorema usado)\n
  • Fato básico que usaremos: se f e g são contínuas em a, então f+g é contínua em a.\n
  • Assim, basta mostrar que x\mapsto\sin x e x\mapsto\cos x são contínuas em um ponto arbitrário a. Como a é arbitrário, isso dará continuidade em todo \mathbb{R}. Vou provar continuidade de \sin e \cos explicitamente com uma estimativa \varepsilon- \delta.

Passo 4

Provar que \sin x é contínua em todo a\n
  • Começo pela identidade trigonométrica útil:
\sin x-\sin a=2\cos\!\left(\frac{x+a}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right).
  • Tomando módulo e usando que |\cos(\cdot)|\le 1, segue
\big|\sin x-\sin a\big|\le 2\left|\sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right)\right|.
  • Usamos agora a desigualdade clássica \big|\sin t\big|\le |t| válida para todo t\in\mathbb{R}. Aplicando com t=\dfrac{x-a}{2} obtemos
\big|\sin x-\sin a\big|\le 2\cdot\left|\frac{x-a}{2}\right|=|x-a|.
  • Consequência \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, se tomarmos \delta=\varepsilon então para |x-a|<\delta teremos
\big|\sin x-\sin a\big|\le |x-a|<\delta=\varepsilon.
  • Portanto \sin x é contínua em a. Como a foi arbitrário, \sin é contínua em todo \mathbb{R}.
(Observação rápida sobre \big|\sin t\big|\le |t|: pode ser demonstrada de várias formas — por desigualdades geométricas no círculo unitário ou pelo teorema do valor médio aplicando \sin entre 0 e t. Aqui usei essa desigualdade como um fato básico padrão.)

Passo 5

Provar que \cos x é contínua em todo a\n
  • Use a identidade
\cos x-\cos a=-2\sin\!\left(\frac{x+a}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right).
  • Tomando módulo e usando |\sin(\cdot)|\le 1 segue
\big|\cos x-\cos a\big|\le 2\left|\sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right)\right|.
  • Novamente aplicando \big|\sin t\big|\le |t| com t=\dfrac{x-a}{2} obtemos
\big|\cos x-\cos a\big|\le |x-a|.
  • Logo, dado \varepsilon>0, escolher \delta=\varepsilon garante que |x-a|<\delta implica |\cos x-\cos a|<\varepsilon. Assim \cos é contínua em a, e portanto em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Concluir que h(x)=\sin x+\cos x é contínua em todo \mathbb{R}\n
  • Já mostramos que \sin e \cos são contínuas em qualquer ponto a.\n
  • Pelo fato citado no Passo 3 (soma de contínuas é contínua), a função h(x)=\sin x+\cos x é contínua em a.\n
  • Como a era arbitrário, h é contínua em todo \mathbb{R}.\n
  • Se quiser ver em \varepsilon- \delta direto: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Para |x-a|<\delta tem-se |\sin x-\sin a|<\varepsilon/2 e |\cos x-\cos a|<\varepsilon/2, então
\big|h(x)-h(a)\big|=\big|\sin x-\sin a+\cos x-\cos a\big|\le |\sin x-\sin a|+|\cos x-\cos a|<\varepsilon.
Isso mostra diretamente continuidade de h em a.

Resposta

h(x)=\sin x+\cos x é contínua em todo \mathbb{R}.

Exercícios relacionados