Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios: h(x)=\operatorname{sen} x+\cos x
Passo 1
O que o enunciado dá e pede\n
Função dada: h(x)=\sin x+\cos x.\n
Domínio implícito: todos os números reais (não há restrição em seno ou cosseno).\n
Pergunta: justificar por que h é contínua em todo o seu domínio (ou seja, em todo \mathbb{R}).\n
Passo 2
O que significa “contínua” (definição que vamos usar)\n
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Em linguagem \varepsilon-\delta: f é contínua em a quando, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.\n
Vou usar essa definição para mostrar continuidade ponto a ponto.
Passo 3
Estratégia geral simples e útil (teorema usado)\n
Fato básico que usaremos: se f e g são contínuas em a, então f+g é contínua em a.\n
Assim, basta mostrar que x\mapsto\sin x e x\mapsto\cos x são contínuas em um ponto arbitrário a. Como a é arbitrário, isso dará continuidade em todo \mathbb{R}. Vou provar continuidade de \sin e \cos explicitamente com uma estimativa \varepsilon-\delta.
Portanto \sin x é contínua em a. Como a foi arbitrário, \sin é contínua em todo \mathbb{R}.
(Observação rápida sobre \big|\sin t\big|\le |t|: pode ser demonstrada de várias formas — por desigualdades geométricas no círculo unitário ou pelo teorema do valor médio aplicando \sin entre 0 e t. Aqui usei essa desigualdade como um fato básico padrão.)
Novamente aplicando \big|\sin t\big|\le |t| com t=\dfrac{x-a}{2} obtemos
\big|\cos x-\cos a\big|\le |x-a|.
Logo, dado \varepsilon>0, escolher \delta=\varepsilon garante que |x-a|<\delta implica |\cos x-\cos a|<\varepsilon. Assim \cos é contínua em a, e portanto em todo \mathbb{R}.
Passo 6
Concluir que h(x)=\sin x+\cos x é contínua em todo \mathbb{R}\n
Já mostramos que \sin e \cos são contínuas em qualquer ponto a.\n
Pelo fato citado no Passo 3 (soma de contínuas é contínua), a função h(x)=\sin x+\cos x é contínua em a.\n
Como a era arbitrário, h é contínua em todo \mathbb{R}.\n
Se quiser ver em \varepsilon-\delta direto: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Para |x-a|<\delta tem-se |\sin x-\sin a|<\varepsilon/2 e |\cos x-\cos a|<\varepsilon/2, então