Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios:
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede: justificar por que a função g abaixo é contínua em seu domínio.
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula da função é g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4}.
  • O denominador é x^{2}-4, que zera em x=\pm 2. Portanto, pontos onde o denominador é zero são especiais para o domínio.

Passo 2

Definição de continuidade que vamos usar (explicada devagar): dizer que uma função f é contínua em um ponto a do seu domínio significa que
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Dizer que f é contínua no seu domínio significa que essa igualdade vale para todo a que pertence ao domínio de f.
Ferramentas/matemática útil (regras de limite/continuidade que usaremos):
  • Funções constantes e a função identidade x\mapsto x são contínuas em todo lugar.
  • Se duas funções u e v são contínuas em a, então u+v, u\cdot v e u/v (quando v(a)\neq 0) também são contínuas em a.
  • Polinômios são obtidos por somas e produtos de constantes e da identidade, logo são contínuos em todo \mathbb{R}.
Eu vou usar essas regras para mostrar que o numerador e o denominador são contínuos e que a razão é contínua sempre que o denominador não anula.

Passo 3

Verificando numerador e denominador:
  • Defina p(x)=x^{2}+1. Essa é soma de x^{2} (produto da identidade por ela mesma) e a constante 1. Como identidade e constantes são contínuas e soma/produto preservam continuidade, p é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
  • Defina q(x)=x^{2}-4. Pelo mesmo raciocínio, q é um polinômio e, portanto, contínua para todo x\in\mathbb{R}.
Observação sobre o domínio: a função g só está definida quando o denominador é diferente de zero. Assim o domínio de g é
\{x\in\mathbb{R} \mid x^{2}-4\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus\{\pm 2\}.

Passo 4

Provar continuidade de g num ponto arbitrário do domínio:
Seja a um ponto qualquer do domínio de g. Então q(a)=a^{2}-4\neq 0. Como p e q são contínuas em a, valem
\lim_{x\to a} p(x)=p(a), \qquad \lim_{x\to a} q(x)=q(a).
Como q(a)\neq 0, pela regra do limite do quociente temos
\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{\lim_{x\to a} p(x)}{\lim_{x\to a} q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}.
Mas \dfrac{p(a)}{q(a)}=g(a). Portanto
\lim_{x\to a} g(x)=g(a),
ou seja, g é contínua em a. Como a foi escolhido arbitrariamente dentro do domínio, g é contínua em todo o seu domínio.
(Pequena intuição prática: polinômios variam de forma suave; a razão de dois polinômios também varia de forma suave, exceto onde o denominador some — e nesses pontos a função não está nem definida.)

Passo 5

Rascunho de uma prova \varepsilon- \delta curta (opcional, para quem gosta de formalidade total):
Seja a com q(a)\neq 0. Escolha \delta_{1}>0 pequeno tal que |q(x)-q(a)|<|q(a)|/2 sempre que |x-a|<\delta_{1}; isso é possível porque q é contínua. Assim, para |x-a|<\delta_{1} tem-se |q(x)|\ge |q(a)|/2>0. Também, pela continuidade de p e q, existe \delta\le\delta_{1} tal que |p(x)-p(a)|<\varepsilon\cdot\frac{|q(a)|^{2}}{4(|p(a)|+1)} e |q(x)-q(a)|<\varepsilon\cdot\frac{|q(a)|}{4(|p(a)|+1)} sempre que |x-a|<\delta. Fazendo as contas (usar desigualdade triangular e o fato |q(x)|\ge|q(a)|/2) obtém-se |g(x)-g(a)|<\varepsilon. Isso completa a prova \varepsilon- \delta de que g é contínua em a.

Resposta

A função g é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}\setminus\{\pm 2\}.

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