Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios:
Passo 1
O enunciado pede: justificar por que a função
abaixo é contínua em seu domínio.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fórmula da função é
. - O denominador é
, que zera em . Portanto, pontos onde o denominador é zero são especiais para o domínio.
Passo 2
Definição de continuidade que vamos usar (explicada devagar): dizer que uma função
é contínua em um ponto
do seu domínio significa que
Dizer que
é contínua no seu domínio significa que essa igualdade vale para todo
que pertence ao domínio de
.
Ferramentas/matemática útil (regras de limite/continuidade que usaremos):
- Funções constantes e a função identidade
são contínuas em todo lugar. - Se duas funções
e são contínuas em , então , e (quando ) também são contínuas em . - Polinômios são obtidos por somas e produtos de constantes e da identidade, logo são contínuos em todo
.
Eu vou usar essas regras para mostrar que o numerador e o denominador são contínuos e que a razão é contínua sempre que o denominador não anula.
Passo 3
Verificando numerador e denominador:
- Defina
. Essa é soma de (produto da identidade por ela mesma) e a constante . Como identidade e constantes são contínuas e soma/produto preservam continuidade, é contínua para todo . - Defina
. Pelo mesmo raciocínio, é um polinômio e, portanto, contínua para todo .
Observação sobre o domínio: a função
só está definida quando o denominador é diferente de zero. Assim o domínio de
é
Passo 4
Provar continuidade de
num ponto arbitrário do domínio:
Seja um ponto qualquer do domínio de
. Então
. Como
e
são contínuas em
, valem
Seja
Como
, pela regra do limite do quociente temos
Mas
. Portanto
ou seja,
é contínua em
. Como
foi escolhido arbitrariamente dentro do domínio,
é contínua em todo o seu domínio.
(Pequena intuição prática: polinômios variam de forma suave; a razão de dois polinômios também varia de forma suave, exceto onde o denominador some — e nesses pontos a função não está nem definida.)
Passo 5
Rascunho de uma prova
-
curta (opcional, para quem gosta de formalidade total):
Seja com
. Escolha
pequeno tal que
sempre que
; isso é possível porque
é contínua. Assim, para
tem-se
. Também, pela continuidade de
e
, existe
tal que
e
sempre que
. Fazendo as contas (usar desigualdade triangular e o fato
) obtém-se
. Isso completa a prova
-
de que
é contínua em
.
Seja
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio
.