Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios:
f(x)=3 x^{4}-2 x^{2}+5 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5x-1
e pede que se justifique por que ela é contínua no seu domínio. Observações imediatas (extraídas do enunciado):
  • A função é um polinômio em x.
  • O domínio natural do polinômio é \mathbb{R} (todos os números reais).
    A pergunta a responder é: por que f é contínua em todo x\in\mathbb{R}?

Passo 2

Definição de continuidade (lembrete claro e direto). Dizemos que uma função g é contínua em um ponto a quando vale:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\ |x-a|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(a)|<\varepsilon.
Intuição: ao aproximar x de a (em termos de |x-a|), os valores g(x) aproximam-se de g(a) (em termos de |g(x)-g(a)|). Essa é a condição que vamos usar implicitamente; também usaremos propriedades padrão que preservam continuidade.

Passo 3

Propriedades básicas (com justificativas curtas) que vamos usar:
  1. Função constante é contínua. Se c é constante então para todo x
|c-c|=0<\varepsilon,
logo basta qualquer \delta>0. Assim, funções constantes são contínuas em todo lugar.
  1. Função identidade I(x)=x é contínua. Dado \varepsilon>0, tomando \delta=\varepsilon obtemos
|x-a|<\delta \Rightarrow |I(x)-I(a)|=|x-a|<\varepsilon.
  1. Soma e múltiplo por constante preservam continuidade. Se g e h são contínuas em a então g+h é contínua em a. Prova rápida: dado \varepsilon>0, existem \delta_1,\delta_2>0 tais que |g(x)-g(a)|<\varepsilon/2 sempre que |x-a|<\delta_1 e |h(x)-h(a)|<\varepsilon/2 sempre que |x-a|<\delta_2. Tomando \delta=\min(\delta_1,\delta_2) temos
|(g+h)(x)-(g+h)(a)|\le |g(x)-g(a)|+|h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Para múltiplo por constante: se c\in\mathbb{R} e g contínua em a, então cg é contínua porque
|c g(x)-c g(a)|=|c|\,|g(x)-g(a)|,
e basta controlar |g(x)-g(a)| por \varepsilon/|c| (se c=0 é trivial).
  1. Produto de funções contínuas é contínuo. Seja g,h contínuas em a. Queremos mostrar gh contínua em a. Usamos a identidade
g(x)h(x)-g(a)h(a)=g(x)\bigl(h(x)-h(a)\bigr)+h(a)\bigl(g(x)-g(a)\bigr).
Dado \varepsilon>0, pela continuidade de g existe \delta_0>0 tal que |g(x)-g(a)|<1 sempre que |x-a|<\delta_0, logo para esses x vale |g(x)|<|g(a)|+1. Em seguida escolhemos \delta_1>0 tal que |h(x)-h(a)|<\dfrac{\varepsilon}{2(|g(a)|+1)} sempre que |x-a|<\delta_1, e \delta_2>0 tal que |g(x)-g(a)|<\dfrac{\varepsilon}{2(1+|h(a)|)} sempre que |x-a|<\delta_2. Tomando \delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2) obtemos, para |x-a|<\delta,
|g(x)h(x)-g(a)h(a)| \le |g(x)|\,|h(x)-h(a)| + |h(a)|\,|g(x)-g(a)| < (|g(a)|+1)\frac{\varepsilon}{2(|g(a)|+1)} + |h(a)|\frac{\varepsilon}{2(1+|h(a)|)}=\varepsilon.
Portanto gh é contínua em a.
Observação de estratégia: com (2), (3) e (4) já conseguimos construir a continuidade de potências e polinômios.

Passo 4

Aplicando as propriedades ao nosso caso:
  • I(x)=x é contínua em todo a por (2).
  • Então x^2 = I(x)\cdot I(x) é produto de contínuas, logo contínua por (4).
  • Por indução, se x^n é contínua então x^{n+1}=x^n\cdot x é contínua; portanto x^n é contínua para todo inteiro n\ge 1.
  • Multiplicando por constantes: 3x^{4}, -2x^{2} e 5x são contínuas por (3).
  • A função constante -1 é contínua por (1).
  • Soma finita de funções contínuas é contínua por (3). Assim
f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5x-1
é soma de funções contínuas, portanto contínua em todo ponto a\in\mathbb{R}.
Comentário amigo: basicamente qualquer polinômio é contínuo porque se constrói com somas e produtos da função x e constantes, e essas operações preservam continuidade. Então pode respirar: polinômio = continente (contínuo) 😃

Passo 5

Conclusão final clara: a função f é contínua em todo o seu domínio, que é \mathbb{R}.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}.

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