Justifique por que as funções abaixo são contínuas nos seus respectivos domínios:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se justifique por que ela é contínua no seu domínio. Observações imediatas (extraídas do enunciado):
- A função é um polinômio em
. - O domínio natural do polinômio é
(todos os números reais).
A pergunta a responder é: por queé contínua em todo ?
Passo 2
Definição de continuidade (lembrete claro e direto). Dizemos que uma função
é contínua em um ponto
quando vale:
Intuição: ao aproximar
de
(em termos de
), os valores
aproximam-se de
(em termos de
). Essa é a condição que vamos usar implicitamente; também usaremos propriedades padrão que preservam continuidade.
Passo 3
Propriedades básicas (com justificativas curtas) que vamos usar:
- Função constante é contínua. Se
é constante então para todo
logo basta qualquer
. Assim, funções constantes são contínuas em todo lugar.
- Função identidade
é contínua. Dado , tomando obtemos
- Soma e múltiplo por constante preservam continuidade. Se
e são contínuas em então é contínua em . Prova rápida: dado , existem tais que sempre que e sempre que . Tomando temos
Para múltiplo por constante: se
e
contínua em
, então
é contínua porque
e basta controlar
por
(se
é trivial).
- Produto de funções contínuas é contínuo. Seja
contínuas em . Queremos mostrar contínua em . Usamos a identidade
Dado
, pela continuidade de
existe
tal que
sempre que
, logo para esses
vale
. Em seguida escolhemos
tal que
sempre que
, e
tal que
sempre que
. Tomando
obtemos, para
,
Portanto
é contínua em
.
Observação de estratégia: com (2), (3) e (4) já conseguimos construir a continuidade de potências e polinômios.
Passo 4
Aplicando as propriedades ao nosso caso:
-
é contínua em todo por (2). - Então
é produto de contínuas, logo contínua por (4). - Por indução, se
é contínua então é contínua; portanto é contínua para todo inteiro . - Multiplicando por constantes:
, e são contínuas por (3). - A função constante
é contínua por (1). - Soma finita de funções contínuas é contínua por (3). Assim
é soma de funções contínuas, portanto contínua em todo ponto
.
Comentário amigo: basicamente qualquer polinômio é contínuo porque se constrói com somas e produtos da função
e constantes, e essas operações preservam continuidade. Então pode respirar: polinômio = continente (contínuo) 😃
Passo 5
Conclusão final clara: a função
é contínua em todo o seu domínio, que é
.