Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
(e) integral-infty^infty e^-x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que
integral-infty^inftye^-xsin x,dx
é uma integral imprópria e, em seguida, calcular o valor dividindo em
integral-infty^0e^-xsin x,dxeintegral0^inftye^-xsin x,dx
e decidir se cada parte converge ou diverge. O conteúdo usado será o conceito de integral imprópria em intervalos infinitos e a antiderivada de e^axsin(bx).

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de e^-xsin x aplicamos a fórmula geral
integral e^axsin(bx),dx =e^axa^2+b^2l(asin(bx)-bcos(bx)r)+C
Aqui a=-1 e b=1, logo
integral e^-xsin x,dx =e^-x(-1)^2+1^2l(-1cdotsin x-1cdotcos xr)+C =e^-xl(-sin x-cos xr)2+C

Passo 3

Analisamos
integral0^inftye^-xsin x,dx =limRtoinftyintegral0^Re^-xsin x,dx
Usando a antiderivada F(x)=tfrace^-x(-sin x-cos x)2, temos
integral0^Re^-xsin x,dx =F(R)-F(0) =e^-R(-sin R-cos R)2 -(-sin0-cos0)2
Como sin0=0 e cos0=1, F(0)=-tfrac12. Assim
integral0^Re^-xsin x,dx =e^-R(-sin R-cos R)2+12
Quando Rtoinfty, e^-Rto0 e o termo oscilante anula-se, ficando
integral0^inftye^-xsin x,dx=12,
ou seja, essa parte converge.

Passo 4

Agora a parte de -infty a 0:
integral-infty^0e^-xsin x,dx =limAto-inftyintegralA^0e^-xsin x,dx =F(0)-F(A)
Já sabemos F(0)=-tfrac12. Então
integralA^0e^-xsin x,dx =-12 -e^-A(-sin A-cos A)2 =-12+e^-A(sin A+cos A)2
Quando Ato-infty, e^-A=e^|A|toinfty e sin A+cos A oscila entre -raiz2 e raiz2, portanto o termo
tfrace^-A(sin A+cos A)2 cresce sem limite. Logo
integral-infty^0e^-xsin x,dx
diverge.

Passo 5

Como a integral no intervalo (-infty,0) diverge, a integral total
integral-infty^inftye^-xsin x,dx
é imprópria e divergente.

Resposta

A integral é imprópria porque o domínio é infinito. A parte de 0 a infty converge a tfrac12, mas a parte de -infty a 0 diverge. Portanto a integral total é divergente.

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