Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para justificar por que
é uma integral imprópria e, em seguida, calcular o valor dividindo em
e decidir se cada parte converge ou diverge. O conteúdo usado será o conceito de integral imprópria em intervalos infinitos e a antiderivada de
.
Passo 2
Para encontrar a antiderivada de
aplicamos a fórmula geral
Aqui
e
, logo
Passo 3
Analisamos
Usando a antiderivada
, temos
Como
e
,
. Assim
Quando
,
e o termo oscilante anula-se, ficando
ou seja, essa parte converge.
Passo 4
Agora a parte de
a
:
Já sabemos
. Então
Quando
,
e
oscila entre
e
, portanto o termo
cresce sem limite. Logo
diverge.
Passo 5
Como a integral no intervalo
diverge, a integral total
é imprópria e divergente.
Resposta
A integral é imprópria porque o domínio é infinito. A parte de
a
converge a
, mas a parte de
a
diverge. Portanto a integral total é divergente.