Justifique a porquê podemos usar o Teorema fundamental da integral de linha em cada item abaixo. Em seguida calcule integralc F d r quando F(x, y)=(x, y) e C=Im alpha com alpha(t)=(tg^-1(t), sen(t^3)), 0 <= t <= h.
Obs: t^-1(t)= arco tangente de t

Passo 1

O enunciado pede para justificar o uso do Teorema Fundamental da Integral de Linha em
integralCFcdot d r,
em que F(x,y)=(x,y) e C é a imagem da curva
alpha(t)=l(tg^-1(t),,sen(t^3)r), 0<= t<= h
O conteúdo é campos vetoriais conservativos e o Teorema Fundamental da Integral de Linha, que diz que, se F=nabla f num domínio simplesmente conexo que contém C, então
integralCFcdot d r = fl(alpha(h)r) - fl(alpha(0)r)
Para resolver, vamos (1) mostrar que F é conservativo e encontrar um potencial f, (2) verificar que o domínio é adequado, e (3) aplicar o teorema para calcular a integral.

Passo 2

Verificamos que F=(P,Q) com
P(x,y)=x, Q(x,y)=y
Como
partial Ppartial y=0 e partial Qpartial x=0,
segue que partial P/partial y=partial Q/partial x em R^2. Logo F é conservativo num domínio aberto e simplesmente conexo (todo R^2).

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral x,dx = x^22 + g(y)
Como partial f/partial y = g'(y) deve ser igual a Q(x,y)=y, segue g'(y)=y e
g(y)=y^22 + C
Podemos escolher C=0, então
f(x,y)=x^2+y^22

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos
integralCFcdot d r = fl(alpha(h)r) - fl(alpha(0)r)
Calculando os extremos da curva:
alpha(0)=l(tg^-1(0),,sen(0)r)=(0,0), alpha(h)=l(tg^-1(h),,sen(h^3)r)
Portanto
fl(alpha(0)r)=tfrac0^2+0^22=0, fl(alpha(h)r) =(arctan(h))^2+sin^2(h^3)2

Resposta

integralCFcdot d r =12l[(arctan(h))^2+sin^2l(h^3r)r]

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