Justifique a porquê podemos usar o Teorema fundamental da integral de linha em cada item abaixo. Em seguida calcule
quando
e
com
,
.
Obs:
arco tangente de t
Obs:
Passo 1
O enunciado pede para justificar o uso do Teorema Fundamental da Integral de Linha em
em que
e
é a imagem da curva
O conteúdo é campos vetoriais conservativos e o Teorema Fundamental da Integral de Linha, que diz que, se
num domínio simplesmente conexo que contém
, então
Para resolver, vamos (1) mostrar que
é conservativo e encontrar um potencial
, (2) verificar que o domínio é adequado, e (3) aplicar o teorema para calcular a integral.
Passo 2
Verificamos que
com
Como
segue que
em
. Logo
é conservativo num domínio aberto e simplesmente conexo (todo
).
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
Como
deve ser igual a
, segue
e
Podemos escolher
, então
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos
Calculando os extremos da curva:
Portanto