Justifique a porquê podemos usar o Teorema fundamental da integral de linha em cada item abaixo. Em seguida calcule integralc F d r quando F(x, y)=(2 x e^-y,-x^2 e^-y) e Omega é o arco da função y=e^sen(raizx) com 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede para justificar que podemos usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha (TFIL) e então calcular
integralcFcdot d r,
onde F(x,y)=(2x e^-y,,-x^2 e^-y) e c é o arco da curva
y = e^sen(raizx), 0<= x<=1
O conteúdo é campos conservativos e o TFIL; vamos verificar que F é gradiente de alguma função potencial e em seguida aplicar o TFIL.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo num domínio simplesmente conectado que contém a curva (por exemplo R^2). Basta checar que
partialpartial yl(2x e^-yr) ;=;-2x e^-y e partialpartial xl(-x^2 e^-yr) ;=;-2x e^-y,
de modo que
partial Ppartial y -partial Qpartial x =0
Logo nablatimes F=0 e F é conservativo.

Passo 3

Buscamos a função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x =2x e^-y, partialphipartial y =-x^2 e^-y
Integramos a primeira em x:
phi(x,y) =integral 2x e^-y,dx =x^2 e^-y+g(y)
Então
partialphipartial y =-x^2 e^-y+g'(y) stackrel!=-x^2 e^-y ;Longrightarrow;g'(y)=0
Portanto phi(x,y)=x^2 e^-y+C. Podemos tomar C=0.

Passo 4

Pelo TFIL, para c de A=(0,y(0)) até B=(1,y(1)) vale
integralcFcdot dr =phil(Br)-phil(Ar)
Aqui
y(0)=e^sen(raiz0)=e^0=1, y(1)=e^sen(raiz1)=e^sen(1)

Passo 5

Calculamos
phil(1,e^sen(1)r) =1^2 e^-e^sen(1) =e^-e^sen(1), phil(0,1r) =0^2e^-1=0
Logo
integralcFcdot dr =e^-e^sen(1)-0 =e^-e^sen(1)

Resposta

integralcFcdot dr = e^-e^sen(1)

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