(a) Justifique porque x0=0 é um ponto ordinário da Equação de Airy y^prime prime-x y=0.

Passo 1

Temos a Equação de Airy
y'' - x,y = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais de segunda ordem e o conceito de ponto ordinário: precisamos usar a definição que diz que um ponto x0 é ordinário se, na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, as funções P(x) e Q(x) são analíticas em torno de x0.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão, basta dividir pelo coeficiente de y'', que é 1. Assim obtemos
y'' + 0cdot y' - x,y = 0,
portanto
$$P(x)=0,
\quad Q(x)=-x.$$

Passo 3

Verificando a analiticidade em x=0:
  • P(x)=0 é um polinômio (série de potências com todos os coeficientes nulos), logo analítico em todo R.
  • Q(x)=-x também é um polinômio, que pode ser expandido como série de potências convergente em todo R.

Passo 4

Como ambos P(x) e Q(x) são analíticos em torno de x0=0, concluímos que x0=0 é um ponto ordinário da Equação de Airy.

Resposta

O ponto x0=0 é ordinário porque, ao escrever na forma padrão, os coeficientes P(x)=0 e Q(x)=-x são funções analíticas em torno de 0.

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